Question

16．如图所示，直线y=-$\frac{1}{2}x$+4与坐标轴分别交于点A、B，与直线y=x交于点C，在线段OA上，动点Q以每秒1个单位长度的速度从点O出发向点A作匀速运动，同时动点P从点A出发向点O做匀速运动，当点P、Q其中一点停止运动时，另一点也停止运动．分别过点P、Q作x轴的垂线，交直线AB、OC于点E、F，连接EF．若运动时间为t秒，在运动过程中四边形总为矩形（点P、Q重合除外）．
（1）求点P运动的速度是多少？
（2）当t为何值时，矩形PEFQ的面积为5．

Answer 1

分析 （1）根据直线y=-$\frac{1}{2}$x+4与坐标轴分别交于点A、B，得出A，B点的坐标，再利用EP∥BO，得出$\frac{OB}{AO}$=$\frac{EP}{AP}$=$\frac{1}{2}$，据此可以求得点P的运动速度；
（2）先求得矩形PEFQ的面积s与t的函数关系式，进而根据等量关系：矩形PEFQ的面积为5，列出方程求解即可．

解答 解：（1）∵直线y=-$\frac{1}{2}$x+4与坐标轴分别交于点A、B，
∴x=0时，y=4，y=0时，x=8，
∴$\frac{OB}{AO}$=$\frac{4}{8}$=$\frac{1}{2}$，
当t秒时，QO=FQ=t，则EP=t，
∵EP∥BO，
∴$\frac{OB}{AO}$=$\frac{EP}{AP}$=$\frac{1}{2}$，
∴AP=2t，
∵动点Q以每秒1个单位长度的速度从点O出发向点A做匀速运动，
∴点P运动的速度是每秒2个单位长度；

（2）如图1，当Q在P点的左边时，
∵OQ=t，PA=2t，
∴QP=8-t-2t=8-3t，
∴S_矩形PEFQ=QP•QF=（8-3t）•t=8t-3t²，
依题意有
8t-3t²=5，
解得t₁=1，t₂=$\frac{5}{3}$；
如图2，当Q在P点的右边时，
∵OQ=t，PA=2t，
∴2t＞8-t，
∴t＞$\frac{8}{3}$，
∴QP=t-（8-2t）=3t-8，
∴S_矩形PEFQ=QP•QF=（3t-8）•t=3t²-8t，
∵当点P、Q其中一点停止运动时，另一点也停止运动，
∴$\frac{8}{3}$＜t≤4，
依题意有
3t²-8t=5，
解得t₃=$\frac{4-\sqrt{31}}{3}$（不合题意舍去），t₄=$\frac{4+\sqrt{31}}{3}$；
综上所述，当t=1或$\frac{5}{3}$或$\frac{4+\sqrt{31}}{3}$时，矩形PEFQ的面积为5．

点评 此题主要考查了二次函数与一次函数的综合应用，得出P，Q不同的位置进行分类讨论得出是解题关键．