【题目】如图,是边长为的等边三角形,动点、同时从、两点出发,分别沿、方向匀速移动,它们的速度都是,当点到达点时,、两点停止运动,设点的运动时间.
解答下列各问题:
(1)求的面积
(2)当为何值时,是直角三角形?
(3)设四边形的面积为,求与的关系式;是否存在某一时刻,使四边形的面积是面积的三分之二?如果存在,求出的值;不存在请说明理由
【答案】(1);(2)或;(3),不存在,理由见解析.
【解析】
(1)根据等边三角形的面积公式计算即可;
(2)先用t的代数式表示出BP,BQ,再分∠BPQ=90°和∠BQP=90°两种情况,在直角△BQP中根据BP,BQ的表达式和∠B的度数进行求解即可;
(3)先用t的代数式表示出△BPQ的面积,然后用△ABC的面积减去△BPQ的面积即得y与t的函数关系式;假设存在某一时刻t,使得四边形APQC的面积是△ABC面积的,可得关于t的一元二次方程,再根据方程根的判别式即得结果.
解:(1)的面积=;
(2)设经过t秒△PBQ是直角三角形,则AP=tcm,BQ=tcm,
在△ABC中,AB=BC=6cm,∠B=60°,∴BP=(6-t)cm,
若△PBQ是直角三角形,则∠BQP=90°或∠BPQ=90°,
当∠BQP=90°时,BQ=BP,即t=(6-t),解得:t=2,
当∠BPQ=90°时,BP=BQ,即6-t=t,解得:t=4,
∴当t=2或t=4时,△PBQ是直角三角形.
(3)过P作PM⊥BC于M,如图,
在△BPM中,∵sinB=,∴PM=PBsinB=(6-t),
∴S△PBQ=BQPM=,
∴==,
∴y与t的关系式为:y=;
假设存在某一时刻t,使得四边形APQC的面积是△ABC面积的,
则S四边形APQC=S△ABC,∴=,
∴,∵(-6)2-4×1×12<0,∴方程无解,
∴无论t取何值,四边形APQC的面积都不可能是△ABC面积的.
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【题目】今年上半年,住房和城乡建设等9部门决定在全国地级以上城市全面启动生活垃分类工作.圾分类有利于对垃圾进行分流处理,势在必行.为了了解同学们对垃圾分类相关知识的掌握情况,增强同学们的环保意识,西街中学团委对七年级一,二两班各69名学生进行了垃极分类相关知识的测试,并分别抽取了15份成绩,整理分析过程如下,请补充完整.
(收集数据)
一班15名学生测试成绩统计如下:(满分100分)
68,72,89,85,82,85,74,92,80,85,78,85,69,76,80
二班15名学生测试成绩统计如下:(满分100分)
86,89,83,76,73,78,67,80,80,79,80,84,82,80,83
(整理数据)
(1)按如下分数段整理、描述这两组样本数据
组别 频数 | 65.5~70.5 | 70.5~75.5 | 75.5~80.5 | 80.5~85.5 | 85.5~90.5 | 90.5~95.5 |
一 | 2 | 2 | 4 | 5 | 1 | 1 |
二 | 1 | 1 | a | b | 2 | 0 |
在表中,a= ,b= .
(分析数据)
(2)两组样本数据的平均数、众数、中位数、方差如下表所示:
班级 | 平均数 | 众数 | 中位数 | 方差 |
一 | 80 | x | 80 | 47.6 |
二 | 80 | 80 | y | z |
在表中:x= ,y= .
(3)若规定得分在80分及以上(含80分)为合格,请估计二班69名学生中垃极分类及投放相关知识合格的学生有 人.
(4)你认为哪个班的学生掌握垃圾分类相关知识的整体水平较好,说明理由.
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【题目】已知:二次函数 中的和满足下表:
… | 0 | 1 | 2 | 3 | … | ||
… | 3 | 0 | 0 | m | … |
(1) 观察上表可求得的值为________;
(2) 试求出这个二次函数的解析式;
(3) 若点A(n+2,y1),B(n,y2)在该抛物线上,且y1>y2,请直接写出n的取值范围.
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【题目】在一元二次方程中,有著名的韦达定理:对于一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0),如果方程有两个实数根x1,x2,那么x1+x2=,x1+x2= (说明:定理成立的条件△≥0).比如方程2x2-3x-1=0中,△=17,所以该方程有两个不等的实数解.记方程的两根为x1,x2,那么x1+x2=,x1+x2=.请阅读材料回答问题:
(1)已知方程x2-3x-2=0的两根为x1、x2,求下列各式的值:
①x12+x22;②;
(2)已知x1,x2是一元二次方程4kx2-4kx+k+1=0的两个实数根.
①是否存在实数k,使(2x1-x2)(x1-2x2)=成立?若存在,求出k的值;若不存在,请说明理由;
②求使-2的值为整数的实数k的整数值.
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【题目】2017年中秋节来期间,某超市以每盒80元的价格购进了1000盒月饼,第一周以每盒168元的价格销售了300盒,第二周如果单价不变,预计仍可售出300盒,该超市经理为了增加销量,决定降价,据调查,单价每降低1元,可多售出10盒,但最低每盒要赢利30元,第二周结束后,该超市将对剩余的月饼一次性赔钱甩卖,此时价格为70元/盒.
(1)若设第二周单价降低x元,则第二周的单价是 ______ ,销量是 ______ ;
(2)经两周后还剩余月饼 ______ 盒;
(3)若该超市想通过销售这批月饼获利51360元,那么第二周的单价应是多元?
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【题目】如图,在平面直角坐标系中,二次函数的图象交坐标轴于A(﹣1,0),B(4,0),C(0,﹣4)三点,点P是直线BC下方抛物线上一动点.
(1)求这个二次函数的解析式;
(2)是否存在点P,使△POC是以OC为底边的等腰三角形?若存在,求出P点坐标;若不存在,请说明理由;
(3)动点P运动到什么位置时,△PBC面积最大,求出此时P点坐标和△PBC的最大面积.
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【题目】已知:如图,反比例函数的图象与一次函数的图象交于点、点.
(1)求一次函数和反比例函数的解析式;
(2)求的面积;
(3)直接写出一次函数值大于反比例函数值的自变量的取值范围.
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【题目】如图,△ABC和△ADE中,AB=AD=6,BC=DE,∠B=∠D=30°,边AD与边BC交于点P(不与点B,C重合),点B,E在AD异侧,I为△APC的内心.
(1)求证:∠BAD=∠CAE;
(2)设AP=x,请用含x的式子表示PD,并求PD的最大值;
(3)当AB⊥AC时,∠AIC的取值范围为m°<∠AIC<n°,分别直接写出m,n的值.
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