Question

8．已知⊙O上两个定点A、B和两个动点C、D，AC与BD交于点E．
（1）如图，求证：EA•EC=EB•ED；
（2）知图，若$\widehat{AB}$=$\widehat{BC}$，AD是⊙O的直径，求证：AD•AC=2BD•BC．

Answer 1

分析 （1）根据同弧所对的圆周角相等得到角相等，从而证得三角形相似，于是得到结论；
（2）如图，连接CD，OB交AC于点F，由B是弧AC的中点得到∠BAC=∠ADB=∠ACB，且AF=CF=$\frac{1}{2}$AC．证得△CBF∽△ABD．即可得到结论．

解答 （1）证明：∵∠EAD=∠EBC，∠BCE=∠ADE，
∴△AED∽△BEC，
∴$\frac{AE}{BE}=\frac{DE}{CE}$，
∴EA•EC=EB•ED；

（2）证明：如图，连接CD，OB交AC于点F
∵B是弧AC的中点，
∴∠BAC=∠ADB=∠ACB，且AF=CF=$\frac{1}{2}$AC．
又∵AD为⊙O直径，
∴∠ABC=90°，又∠CFB=90°．
∴△CBF∽△ABD．
∴$\frac{CF}{BD}=\frac{BC}{AD}$，
故CF•AD=BD•BC．
∴AC•AD=2BD•BC．

点评 本题考查了圆周角定理，相似三角形的判定和性质，正确作出辅助线是解题的关键．