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18.将矩形纸片ABCD折叠,使点B落在边CD上的B′处,折痕为AE,过B′作B′P∥BC,交AE于点P,连接BP.已知BC=3,CB′=1,下列结论:
①AB=5;
②sin∠ABP=$\frac{3}{5}$;
③四边形BEB′P为菱形;
④S四边形BEB′P-S△ECB′=1,
其中正确的是①③④.(把所有正确结论的序号都填在横线上)

分析 (1)根据翻折的性质和勾股定理列方程求解,①正确;
(2)根据翻折的性质和B′P∥BC证明B′P=BE,四边形BEB′P为平行四边形,再由BE=B′E,四边形BEB′P为菱形,③正确;
(3)延长B′P与AB交于点M,则PM⊥AB,根据勾股定理得到BE,进而求出BP、PM,sin∠ABP=$\frac{4}{5}$≠$\frac{3}{5}$;故②错误;
(4)S四边形BEB′P-S△ECB′=BE×CB′-$\frac{1}{2}$CE×CB′=1,④正确.

解答 解:(1)设AB=CD=x,根据翻折的性质AB=AB′=x,B′D=x-1,AD=3
∴x2=(x-1)2+32
解得:x=5,
∴①正确;
(2)∵B′P∥BC,
∴∠BEP=∠B′PE
根据翻折的性质∠BEP=∠B′EP,
∴∠B′EP=∠B′PE,
∴B′E=B′P,
∵BE=B′E,
∴BE=B′P,
∴四边形BEB′P为菱形,
∴③正确;
(3)延长B′P与AB交于点M,则PM⊥AB,
设BE=m,则CE=3-m,CB′=1,
∴m2=(3-m)2+12
解得:m=$\frac{5}{3}$,
∴BE=BP=B′P=$\frac{5}{3}$,
∴CE=PM=$\frac{4}{3}$,
∴sin∠ABP=$\frac{PM}{BP}$=$\frac{4}{5}$,
∴②错误;
(4)S四边形BEB′P-S△ECB′=BE×CB′-$\frac{1}{2}$CE×CB′=$\frac{5}{3}×1-\frac{1}{2}×\frac{4}{3}×1$=1,
∴④正确.
故答案为:①③④.

点评 本题考查了翻折变换,解答过程中涉及了平行四边形的性质、勾股定理,属于综合性题目,解答本题的关键是根据翻折变换的性质得出对应角、对应边分别相等,然后分别判断每个结论,难度较大,注意细心判断.

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