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如图1,正方形ABCD和正方形CGEF的边长分别为2和3,且点B、C、G在同一条直线上,P是线段AE的中点,连接PF、PD.
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(1)探究PF与PD的关系;
(2)将正方形ABCD沿着CF所在的直线平移,设平移的距离为|x|(向上平移为正,向下平移为负),线段PF的长为y,求y与x的函数关系式及自变量x的取值范围.(图2、3为操作备用图)
分析:(1)延长FP交AD的延长线与M,再由相似三角形的判定定理求出△EFM≌△AMH,DM=DF,求出△DMF是等腰直角三角形,再由等腰三角形斜边的中线等于斜边的一半解答即可;
(2)作出辅助线PK、DK、DP,求∠K的度数,再根据三角形的面积公式建立等式,求出y与x的函数关系式.
解答:精英家教网解:(1)延长FP交AD的延长线与M,
∵正方形ABCD和正方形CGEF的边长分别是2和3,
∴FD=1,
∵EF∥AM,P是线段AE的中点,
∴△EFP≌△AMP,
∴PM=PF,
∵AM=EF=3,AD=2,
∴DM=DF=1,
∴△DMF是等腰直角三角形,
∵PM=PF,
∴DP是△FDM的中线,
∴DP=
1
2
FM=PF.

(2)如图所示,将正方形ABCD沿着CF所在的直线平移,延长FP与AD的延长线相交于K,连接CP.精英家教网
因为P为AE的中点,则BP=EP,
又因为∠EFD=∠AKP,∠FPE=∠KPA,
所以△EFP≌△AKP,
又因为△FCK为直角三角形,所以CP=CK=PK=PF,
于是∠K=60°.
FD=3-(2-|x|)=1+|x|,
于是
1
2
y(|x|+1)=
1
2
y•2ysin60°,
整理得y=
3
3
|x|+
3
3
(x为任意数).
点评:此题是一道动点问题,要综合利用勾股定理和全等三角形的性质及三角形的面积公式解答.要仔细解答第(1)题,为第(2)题提供思路.
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垂直
垂直
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相等
相等

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