Question

【题目】如图，△ABC中，，于点D，于点E，交AD于点F，点M是BC的中点，连接FM并延长交AB的垂线BH于点H．下列说法中错误的是（ ）

A.若，则

B.若，则

C.若（点M与点D重合），则

D.若（点B与点D重合），则

Answer 1

【答案】D

【解析】

连接CF，由垂心的性质得出CF⊥AB，证出CF∥BH，由平行线的性质得出∠CBH＝∠BCF，证明△BMH≌△CMF得出BH＝CF，由线段垂直平分线的性质得出AF＝CF，得出BH＝AF，AD＝DF＋AF＝DF＋BH，由直角三角形的性质得出AD＝BD，即可得出结论；同A可证：AD＝DF＋AF＝DF＋BH，再由等腰直角三角形的性质和含30°角的直角三角形的性质即可得出结论．

解：连接CF，如图所示：

∵AD⊥BC，BE⊥AC，
∴CF⊥AB，
∵BH⊥AB，
∴CF∥BH，
∴∠CBH＝∠BCF，
∵点M是BC的中点，
∴BM＝MC，
在△BMH和△CMF中，
∠MBH＝∠MCF，BM＝MC，∠BMH＝∠CMF，
∴△BMH≌△CMF（ASA），
∴BH＝CF，
∵AB＝BC，BE⊥AC，
∴BE垂直平分AC，
∴AF＝CF，
∴BH＝AF，
∴AD＝DF＋AF＝DF＋BH，
∵在Rt△ADB中，∠ABC＝30°，
∴AD＝BD，
∴DF＋BH＝BD，故A正确；
同A可证：AD＝DF＋AF＝DF＋BH，
∵在Rt△ADB中，∠ABC＝45°，
∴AD＝BD，
∴DF＋BH＝BD，故B正确；
同A可证：AD＝DF＋AF＝DF＋BH，
∵在Rt△ADB中，∠ABC＝60°，
∴AD＝BD，
∴DF＋BH＝BD，故C正确．
故选：D．