Question

9．如图，?ABCD周长为32cm，AB：BC=5；3，AF⊥CD于F，AE⊥BC于E且∠EAF=2∠C，求AE和AF的长．

Answer 1

分析 首先求得平行四边形的边长，求得∠C的度数，则∠FDA和∠ABE即可求得，然后在直角△ADF和直角△ABE中，利用三角函数即可求得．

解答 解：∵AB：BC=5：3，?ABCD周长为32cm，
∴AB=$\frac{1}{2}$×32×$\frac{5}{5+3}$=10（cm），BC=$\frac{1}{2}$×32×$\frac{3}{5+3}$=6（cm）．
∵AF⊥CD于F，AE⊥BC于E，
∴∠E=∠F=90°，
∴∠EAF+∠C=180°，
又∵∠EAF=2∠C，
∴∠C=60°．
∵?ABCD中AB∥CD，AD∥BC，
∴∠FDA=∠ABE=∠C=60°，
∴AE=AB•sin∠ABE=10×$\frac{\sqrt{3}}{2}$=5$\sqrt{3}$（cm），AF=AD•sin∠FDA=BC•sin∠FDA=6×$\frac{\sqrt{3}}{2}$=3$\sqrt{3}$（cm）．

点评 本题考查了平行四边形的性质以及三角函数，正确求得∠C的度数是关键．