Question

已知：二次函数y=x²+bx+8的图象与x轴交于点A（-2，0）．
（1）求二次函数y=x²+bx+8的图象与x轴的另一个交点B及顶点M的坐标；
（2）点P从点B出发，以每秒1个单位的速度沿水平方向向右运动，同时点Q从点M出发，以每秒2个单位的速度沿竖直方向向下运动，当点P运动到原点O时，P、Q同时停止运动．点C、点D分别为点P、点Q关于原点的对称点，设四边形PQCD的面积为S，运动时间为t，求S与t的函数关系表达式（不必写出t的取值范围）；
（3）在（2）的运动过程中，四边形PQCD能否形成矩形？若能，求出此时t的值；若不能，请说明理由．

Answer 1

考点：二次函数综合题

专题：

分析：（1）先应用待定系数法求得解析式，然后解方程求得与坐标轴的交点，把二次函数的解析式转化为顶点式即可求得顶点坐标．
（2）先证得四边形PQCD是平行四边形，然后根据已知条件表示出PC、QN，因为平行四边形的面积S=2S_△PCQ，即可求得．
（3）由（2）可知四边形是平行四边形，根据对角线相等的平行四边形是矩形，即可求得t的值．

解答：解：（1）∵y=x ²+bx+8的图象与x轴交于点A（-2，0）
∴b=6
∴二次函数的表达式为：y=x ²+6x+8
令y=0，得x ²+6x+8=0，
解得x₁=-2，x₂=-4，
∴B（-4，0），
y=x ²+6x+8
=（x+3）²-1，
∴顶点M（-3，-1），

（2）∵点C、点D分别为点P、点Q关于原点的对称点
∴OP=OC，OD=OQ
∴四边形PQCD是平行四边形
BP=t，OP=4-t，PC=2OP=8-2t
作QN⊥x轴于点N，
∵点Q从点M出发，沿竖直向下方向运动
∴点M必在QN上
MN=1，MQ=2t，QN=1+2t，
S=2S_△PCQ=（ 8-2t ）（ 1+2t ）=-4 t ²+14t+8，

（3）在（2）的运动过程中，四边形PQCD能形成矩形，
由（2）知四边形PQCD是平行四边形，当对角线PC=DQ时，四边形PQCD是矩形
∴OP=OQ，OP ²=OQ ²=ON ²+QN ²
∴（ 4-t ） ²=3 ²+（ 1+2t ） ²
∴t ²+4t-2=0，
解得：t₁=

6

-2，t₂=-

6

-2（舍去），
∴在运动过程中四边形PQCD可以形成矩形，此时t的值为（

6

-2）．

点评：本题考查了待定系数法求解析式以及抛物线与坐标轴的交点，抛物线的顶点式，平行四边形的性质以及矩形的判定等．