Question

【题目】为了保护环境，新农村改造过程中需要修建污水处理厂，如图，、是位于直线小河同侧的两个村庄，村距离小河的距离，村距离小河的距离，经测量，现准备在小河边修建一个污水处理厂．(不考虑河宽)

（1）设，请用含的代数式表示的长（保留根号）；

（2）为了节省材料，使得两村的排污管道最短，求最短的排污管长；

（3）根据（1）（2）的结果，运用数形结合思想，求的最小值．

Answer 1

【答案】（1）；（2）25米；（3）17

【解析】

（1）根据勾股定理即可得到结论；

（2）作点A关于直线MN的对称点A′，连接A′B交MN于O，此时，OA+OB=OB+OA′的长最短，即点O即为污水处理厂的位置，根据勾股定理即可得到结论；

（3）由（2）可知，作出图形，利用最短路径问题和勾股定理解题，即可得到答案．

解：（1）在中，由勾股定理得：，

在中，由勾股定理得：，

∴．

（2）作点关于对称点为，可以得到，．

根据两点之间线段最短可以得到，的长度就是最短的排污管．

∵，，

由勾股定理得：．

（3）根据(2)的结果，先作对称点，把问题转化到求最短距离问题．如图：

设BD=2，AC=6，CD=15，设OC=a，则OD=15-a，

根据勾股定理得，AO+OB=，

此时，

当A、O、B′三点共线时，OA+OB的值最小，

∴的值最小，即的长度；

∴最小值为：；

∴的最小值为17.