Question

【题目】如图，在平面直角坐标系xOy中，点B坐标为（0，m）（m＞0），点A在x轴正半轴上，直线AB经过点A，B，且tan∠BAO＝2．

（1）若点A的坐标为（3，0），求直线AB的表达式；

（2）反比例函数y＝的图象与直线AB交于第一象限的C、D两点（BD＜BC），当AD＝2DB时，求k1的值（用含m的式子表示）；

（3）在（1）的条件下，设线段AB的中点为E，过点E作x轴的垂线，垂足为M，交反比例函数y＝的图象于点F．分别连接OE、OF，当△OEF与△OBE相似时，请直接写出满足条件的k2值．

Answer 1

【答案】（1）y＝﹣2x+6 （2）4（3）或﹣

【解析】

（1）先通过解直角三角形求得A的坐标，然后根据待定系数法即可求得直线AB的解析式；

（2）作DE∥OA，根据题意得出，求得DE，即D的横坐标，代入AB的解析式求得纵坐标，然后根据反比例函数图象上点的坐标特征即可求得k1；

（3）根据勾股定理求得AB、OE，进一步求得BE，然后根据相似三角形的性质求得EF的长，从而求得FM的长，得出F的坐标，然后根据反比例函数图象上点的坐标特征即可求得k2．

解：（1）∵A（3，0）、B（0，m）（m＞0），

∴OA＝3，OB＝m，

∵tan∠BAO＝＝2，

∴m＝6，

设直线AB的解析式为y＝kx+b，

代入A（3，0）、B（0，6）得：，

解得：b＝6，k＝﹣2，

∴直线AB的解析式为y＝﹣2x+6；

（2）如图1，

∵AD＝2DB，

∴，

作DE∥OA，

∴，

∴DE＝OA＝1，

∴D的横坐标为1，

代入y＝﹣2x+6得，y＝4，

∴D（1，4），

∴k1＝1×4＝4；

（3）如图2，

∵A（3，0），B（0，6），

∴E（，3），AB＝，

∵OE是Rt△OAB斜边上的中线，

∴OE＝AB＝，BE＝，

∵EM⊥x轴，

∴F的横坐标为，

当△OEF∽△OBE，

∴＝，

∴，

∴EF＝，

∴FM＝3﹣＝，

∴F（，），

∴k2＝×＝，

如图3，

当△OEF∽△EOB时，

∴，

∴EF＝OB＝6，

∴F（，﹣3），

∴k2＝﹣3×＝﹣；

综上所述，满足条件的k2值为或﹣．