Question

（2012•营口一模）[提出问题]：已知矩形的面积为1，当该矩形的长为多少时，它的周长最小？最小值是多少？
[建立数学模型]：设该矩形的长为x，周长为y，则y与x的函数关系式为y=x+

1

x

（x＞0）．
[探索研究]：我们可以借鉴以前研究函数的经验，先探索函数y=x+（x＞0）的图象和性质．
①填写下表，画出函数的图象；

x	…	1 4	1 3	1 2	1	2	3	4	…
y	…								…

②观察图象，写出当自变量x取何值时，函数y=x+

1

x

（x＞0）有最小值；
③我们在课堂上求二次函数最大（小）值时，除了通过观察图象，还可以通过配方得到．请你通过配方求函数y=x+

1

x

（x＞0）的最小值．

Answer 1

分析：①将x=

1

4

，

1

3

，

1

2

，1，2，3，4分别代入y=x+

1

x

中，求出对应的y值，填表如下；根据表格找出7个点的坐标，描在平面直角坐标系中，然后用平滑的曲线作出函数图象即可；
②由函数图象，可得出函数y=x+

1

x

（x＞0）取得最小值时x的值；
③将y=x+

1

x

的两项变形为两数的平方，加上两数之积的2倍，同时减去两数之积的2倍，保证与原式相等，利用完全平方公式变形后，根据完全平方式最小值为0，可得出y的最小值及此时x的值．

解答：解：①填表如下：

x	…	1 4	1 3	1 2	1	2	3	4	…
y	…	17 4	10 3	5 2	2	5 2	10 3	17 4	…

描点；连线，画出函数图象，如图所示：

②观察图象，可得：当x=1时，函数y=x+

1

x

（x＞0）的最小值是2；
③解：y=x+

1

x

=（

x

）²+（

1 x

）²-2

x

•

1 x

+2

x

•

1 x

=（

x

-

1 x

）²+2，
当

x

-

1 x

=0，即x=1时，函数y=x+

1

x

（x＞0）的最小值是2，
则函数y=x+

1

x

（x＞0）的最小值是2．

点评：此题考查了利用描点法画函数图象，以及完全平方公式的运用，利用了数形结合及转化的思想，是一道综合性较强的探究型试题．