分析 (1)把A、C两点的坐标代入可求得一次函数解析式;
(2)可设出P点坐标为(x,$\frac{4}{x}$),由△POQ和△BCO相似可知有两种情况,当∠BCO=∠POQ时,利用两角的正切值相等,可得到关于x的方程,可求得x的值,可得P点坐标;当∠BCO=∠OPQ时,同理可求得P点坐标;
(3)作AD⊥BC于点D,由△ABC的面积可求得AD的长,且可求得AC的长,在Rt△ADC中,可求得∠ACB的正弦值.
解答 解:
(1)把A(4,0),C(0,-4)代入y=kx+b可得
$\left\{\begin{array}{l}{4k+b=0}\\{b=-4}\end{array}\right.$,解得$\left\{\begin{array}{l}{k=1}\\{b=-4}\end{array}\right.$,
∴一次函数解析式为y=x-4;
(2)设P点坐标为(x,$\frac{4}{x}$),
∵,∠PQO=∠BOC=90°,
∴当△POQ和△BCO时是有∠BCO=∠POQ或∠BCO=∠OPQ,
①当∠BCO=∠POQ时,则tan∠BCO=tan∠POQ,
∴$\frac{1}{2}$=$\frac{\frac{4}{x}}{x}$,解得x=2$\sqrt{2}$或x=-2$\sqrt{2}$(舍去),
∴P点坐标为(2$\sqrt{2}$,$\sqrt{2}$);
②当∠BCO=∠OPQ时,则tan∠BCO=tan∠OPQ,
∴$\frac{1}{2}$=$\frac{x}{\frac{4}{x}}$,解得x=$\sqrt{2}$或x=-$\sqrt{2}$(舍去),
∴P点坐标为($\sqrt{2}$,2$\sqrt{2}$);
综上可得P点坐标为(2$\sqrt{2}$,$\sqrt{2}$)或($\sqrt{2}$,2$\sqrt{2}$);
(3)作AD⊥BC交BC于D,如图,
∵A(4,0),C(0,-4),B(-2,0),
∴AC=4$\sqrt{2}$,BC=$\sqrt{{4}^{2}+{2}^{2}}$=2$\sqrt{5}$
∵S△ABC=$\frac{1}{2}$AB•OC=$\frac{1}{2}$BC•AD,
∴6×4=2$\sqrt{5}$AD,
∴AD$\frac{12\sqrt{5}}{5}$,
∴在Rt△ADC中,sin∠ACB=$\frac{AD}{AC}$=$\frac{\frac{12\sqrt{5}}{5}}{4\sqrt{2}}$=$\frac{3\sqrt{10}}{10}$.
点评 本题为反比例函数综合应用,涉及待定系数法、相似三角形的判定和性质、三角函数定义、分类讨论思想等知识点.在(2)中注意分两种情况是解题的关键,在(3)中构造直角三角形是解题的关键.本题考查知识点较多,综合性较强,难度适中.
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A. | 1个 | B. | 2个 | C. | 3个 | D. | 4个 |
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科目:初中数学 来源: 题型:选择题
A. | 互为相反数的两数的和为0 | B. | 互为相反数的两数的商为-1 | ||
C. | 互为相反数的两数的平方相等 | D. | 互为相反数的两数的绝对值相等 |
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