精英家教网 > 初中数学 > 题目详情
1.已知:在平面直角坐标系xOy中,一次函数y=kx+b(k≠0)的图象经过点A(4,0),C(0,-4),另有一点B(-2,0).
(1)求一次函数解析式;
(2)联结BC,点P是反比例函数y=$\frac{4}{x}$的第一象限图象上一点,过点P作y轴的垂线PQ,垂足为Q.如果△QPO与△BCO相似,求P点坐标;
(3)联结AC,求∠ACB的正弦值.

分析 (1)把A、C两点的坐标代入可求得一次函数解析式;
(2)可设出P点坐标为(x,$\frac{4}{x}$),由△POQ和△BCO相似可知有两种情况,当∠BCO=∠POQ时,利用两角的正切值相等,可得到关于x的方程,可求得x的值,可得P点坐标;当∠BCO=∠OPQ时,同理可求得P点坐标;
(3)作AD⊥BC于点D,由△ABC的面积可求得AD的长,且可求得AC的长,在Rt△ADC中,可求得∠ACB的正弦值.

解答 解:
(1)把A(4,0),C(0,-4)代入y=kx+b可得
$\left\{\begin{array}{l}{4k+b=0}\\{b=-4}\end{array}\right.$,解得$\left\{\begin{array}{l}{k=1}\\{b=-4}\end{array}\right.$,
∴一次函数解析式为y=x-4;
(2)设P点坐标为(x,$\frac{4}{x}$),
∵,∠PQO=∠BOC=90°,
∴当△POQ和△BCO时是有∠BCO=∠POQ或∠BCO=∠OPQ,
①当∠BCO=∠POQ时,则tan∠BCO=tan∠POQ,
∴$\frac{1}{2}$=$\frac{\frac{4}{x}}{x}$,解得x=2$\sqrt{2}$或x=-2$\sqrt{2}$(舍去),
∴P点坐标为(2$\sqrt{2}$,$\sqrt{2}$);
②当∠BCO=∠OPQ时,则tan∠BCO=tan∠OPQ,
∴$\frac{1}{2}$=$\frac{x}{\frac{4}{x}}$,解得x=$\sqrt{2}$或x=-$\sqrt{2}$(舍去),
∴P点坐标为($\sqrt{2}$,2$\sqrt{2}$);
综上可得P点坐标为(2$\sqrt{2}$,$\sqrt{2}$)或($\sqrt{2}$,2$\sqrt{2}$);
(3)作AD⊥BC交BC于D,如图,

∵A(4,0),C(0,-4),B(-2,0),
∴AC=4$\sqrt{2}$,BC=$\sqrt{{4}^{2}+{2}^{2}}$=2$\sqrt{5}$
∵S△ABC=$\frac{1}{2}$AB•OC=$\frac{1}{2}$BC•AD,
∴6×4=2$\sqrt{5}$AD,
∴AD$\frac{12\sqrt{5}}{5}$,
∴在Rt△ADC中,sin∠ACB=$\frac{AD}{AC}$=$\frac{\frac{12\sqrt{5}}{5}}{4\sqrt{2}}$=$\frac{3\sqrt{10}}{10}$.

点评 本题为反比例函数综合应用,涉及待定系数法、相似三角形的判定和性质、三角函数定义、分类讨论思想等知识点.在(2)中注意分两种情况是解题的关键,在(3)中构造直角三角形是解题的关键.本题考查知识点较多,综合性较强,难度适中.

练习册系列答案
相关习题

科目:初中数学 来源: 题型:解答题

11.如图,在△ABC中,∠ACB=90°,AC=BC,△ABC的高CD与角平分线AE相交点F,过点C作CH⊥AE于G,交AB于H.
(1)求∠BCH的度数;
(2)求证:CE=BH.

查看答案和解析>>

科目:初中数学 来源: 题型:解答题

12.如图所示,是某工件的三视图,求此工件的体积.(结果保留π)

查看答案和解析>>

科目:初中数学 来源: 题型:选择题

9.在分数$\frac{2}{5}$,$\frac{12}{20}$,$\frac{4}{6}$,$\frac{12}{60}$,$\frac{3}{9}$中,与$\frac{6}{15}$相等的分数有(  )个.
A.1个B.2个C.3个D.4个

查看答案和解析>>

科目:初中数学 来源: 题型:填空题

16.对于有理数a,b定义一种新运算“⊙”,规定a⊙b=|a+b|+|a-b|,则2⊙(-3)=6.

查看答案和解析>>

科目:初中数学 来源: 题型:选择题

6.下列说法错误的是(  )
A.互为相反数的两数的和为0B.互为相反数的两数的商为-1
C.互为相反数的两数的平方相等D.互为相反数的两数的绝对值相等

查看答案和解析>>

科目:初中数学 来源: 题型:解答题

13.在数轴上分别画出点A、B、C、D,点A表示数$\frac{1}{3}$,点B表示数1$\frac{1}{2}$,点C表示数0,点D表示数2$\frac{3}{4}$;并将点A、B、C、D所表示的数用“>”连接.

查看答案和解析>>

科目:初中数学 来源: 题型:解答题

10.计算$\sqrt{27}$-3tan30°-2cos30°-($\frac{1}{2}$)-2-|1-$\sqrt{3}$|.

查看答案和解析>>

科目:初中数学 来源: 题型:填空题

11.|2$\sqrt{3}$-3|=3-2$\sqrt{3}$,$\sqrt{2}$的倒数是$\frac{\sqrt{2}}{2}$,$\sqrt{5}$-2的相反数是2-$\sqrt{5}$.

查看答案和解析>>

同步练习册答案