Question

如图，△ABC是锐角三角形，BC=120，高AD=80，矩形PQMN的顶点P、N分别在AB、AC上，M、Q在BC上，AD与PN交于点E，请问矩形PQMN的面积什么时候最大，最大面积是多少？

Answer 1

分析：设长方形零件PQMN的边AE=x，矩形PQMN的面积为S，利用△APN∽△ABC得相似比，用相似比可得出用含x的式子表示S，从而得出二次函数解析式，根据解析式及自变量取值范围求S的最大值．

解答：解：∵四边形PQMN是矩形，
∴PN∥BC，∠PQM=90°，∠QPN=90°，
∴△PAN∽△ABC，
∵AD是高，
∴∠ADB=90°，
∴四边形PQDE是矩形，∠AEN=90°，
∴

AE

AD

=

PN

BC

，PQ=DE，
设AE=x，矩形PQMN的面积为S，
则

x

80

=

PN

120

，DE=80-x，
∴PN=

3

2

x，PQ=80-x，
∴S=

3

2

x(80-x)=-

3

2

(x-40)2+2400，
∴当x=40时，S的最大值为2400，
∴当AE=40时，矩形PQMN的面积最大，最大面积是2400．

点评：本题用二次函数的方法解决面积问题，是函数性质的实际运用，需要从计算矩形面积着手，求矩形的长、宽，同时考查了拼接问题，需要从图形的特殊性着手．