Question

2．如图，在直线y=x上有一点P，PA⊥x轴于点A，S_△PAO=4.5．
（1）如图，点P的坐标为（3，3）；
（2）点E的坐标为（0，-1），连接PE，过点P作PF⊥PE，交x轴于点F，求点F的坐标；
（3）如图2，将点A向右平移5个单位长度得到点M，Q为过点P的直线y=-x+a上一点，S_△QPO=S_△MPO，求点Q的坐标；
（4）将△PAO绕点P逆时针旋转一个角α（0°＜α＜180°），记旋转中的△PAO为△P′A′O′，设直线PO′、直线A′O′与x轴分别交于G、H，是否存在这样的旋转角α，使△GHO′为等腰三角形？若存在，直接写出α；若不存在，请说明理由．

Answer 1

分析 （1）根据已知得出PA=OA，然后根据三角形的面积就可求得P的坐标；
（2）根据已知求得M的坐标和三角形QPO的面积以及直线的解析式为y=-x+6，设此直线与x轴的交点为C，从而求得C的坐标，进而求得三角形QAC的面积，就可求得Q的纵坐标，代入直线y=-x+6，就可求得Q的坐标；
（3）分三种情况分析讨论求得．

解答 解：（1）如图1，∵P点在直线y=x上，
∴PA=OA，
∵S_△PAO=$\frac{1}{2}$OA•PA=4.5．
∴OA=PA=3，
∴P（3，3）；
故答案为（3，3）；
（2）由于P（3，3），E（0，-1）
故PC的解析式为y=$\frac{4}{3}x-1$，
设PF的解析式为y=$-\frac{3}{4}x+b$，把P（3，3）代入求得b=$\frac{21}{4}$
，再令y=0，求得x=7
故F点坐标为（7，0）．
（3）如图2，∵将点A向右平移5个单位长度得到点M，
∴M（8，0），
∴OM=8，
∵S_△MPO=$\frac{1}{2}$OM•PA=$\frac{1}{2}×8$×3=12，S_△QPO=S_△MPO，
∴S_△QPO=12，
∵Q为过点P的直线y=-x+a上一点，
∴3=-3+a，
∴a=6，
∴直线为y=-x+6，
∵直线y=x和直线y=-x+6垂直，
∴AC=OA=3，
∴OC=6，
∴S_△OPC=$\frac{1}{2}$OC•PA=$\frac{1}{2}$×6×3=9，
∴S_△OQC=12+9=21，
∴$\frac{1}{2}$OC•y_Q=21，
∴y_Q=7，
代入直线y=-x+6得7=-x+6，解得x=-1，
∴Q（-1，7）；
（4）分三种情况：
当GH=O′G时，如图3，
∵∠PA′O′=45°，
∴∠PA′O′=∠GHO′=45°，
∴∠O′GH=90°，
∴PO′⊥x轴，
∴α=45°；
当GH=HO′时，如图4，∵∠PO′A′=45°，
∴∠PO′A′=∠HGO′=45°，
∴∠GHO′=90°，
∴A′O′⊥x轴，
∴α=90°；
当GO′=HO′时，如图5，∵∠PO′A′=45°，
∴∠GHO′=∠HGO′=65°，
∴∠PGA=65°，
∵∠PAG=90°，
∴∠APG=25°°，
∵∠OPA=45°，
∴α=70°，
∴当α为45°或70°或90°时，使△GHO′为等腰三角形．

点评 本题是一次函数的综合题，考查了一次函数图象上点的坐标特征，三角形的面积以及旋转的性质，分类讨论思想的运用是解题的关键．