Question

【题目】如图，已知AB是⊙O的直径，过O点作OP⊥AB，交弦AC于点D，交⊙O于点E，且使∠PCA=∠ABC．

（1）求证：PC是⊙O的切线；
（2）若∠P=60°，PC=2，求PE的长．

Answer 1

【答案】
（1）解：连接OC，

∵AB是⊙O的直径，
∴∠ACB=90°，
∴∠BCO+∠ACO=90°，
∵OC=OB，
∴∠B=∠BCO，
∵∠PCA=∠ABC，
∴∠BCO=∠ACP，
∴∠ACP+∠OCA=90°，
∴∠OCP=90°，
∴PC是⊙O的切线
（2）解：∵∠P=60°，PC=2，∠PCO=90°，
∴OC=2 ，OP=2PC=4，
∴PE=OP﹣OE=OP﹣OC=4﹣2
【解析】（1）连接OC，要证PC是⊙O的切线，只需证∠OCP=90°。根据直径所对的圆周角是直角可得∠ACB=90°，结合已知条件可证得∠OCP=90°，则结论可得。
（2）由（1）知∠PCO=90°，在直角三角形PCO中，根据直角三角形中,30度角所对的直角边等于斜边的一半可求出OP，则PE=OP﹣OE=OP﹣OC。