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如图1,在四边形ABCD的边AB上任取一点E(点E不与点A、点B重合),分别连接ED,EC,可以把四边形ABCD分成三个三角形,如果其中有两个三角形相似,我们就把E叫做四边形ABCD的边AB上的相似点;如果这三个三角形都相似,我们就把E叫做四边形ABCD的边AB上的强相似点.解决问题:

(1)如图1,∠A=∠B=∠DEC=55°,试判断点E是否是四边形ABCD的边AB上的相似点,并说明理由;

(2)如图2,在矩形ABCD中,AB=5,BC=2,且A,B,C,D四点均在正方形网格(网格中每个小正方形的边长为1)的格点(即每个小正方形的顶点)上,试在图2中画出矩形ABCD的边AB上的一个强相似点E;

拓展探究:

(3)如图3,将矩形ABCD沿CM折叠,使点D落在AB边上的点E处.若点E恰好是四边形ABCM的边AB上的一个强相似点,试探究AB和BC的数量关系.

 

 

【答案】

(1)是,理由见解析;(2)作图见解析;(3).

【解析】

试题分析:(1)要证明点E是四边形ABCD的AB边上的相似点,只要证明有一组三角形相似就行,很容易证明△ADE∽△BEC,所以问题得解.

(2)根据两个直角三角形相似得到强相似点的两种情况即可.

(3)因为点E是梯形ABCD的AB边上的一个强相似点,所以就有相似三角形出现,根据相似三角形的对应线段成比例,可以判断出AE和BE的数量关系,从而可求出解.

试题解析:(1)点E是四边形ABCD的边AB上的相似点.

理由:∵∠A=55°,

∴∠ADE+∠DEA=125°.

∵∠DEC=55°,

∴∠BEC+∠DEA=125°.

∴∠ADE=∠BEC.

∵∠A=∠B,

∴△ADE∽△BEC.

∴点E是四边形ABCD的AB边上的相似点.

(2)作图如下:

(3)∵点E是四边形ABCM的边AB上的一个强相似点,

∴△AEM∽△BCE∽△ECM,

∴∠BCE=∠ECM=∠AEM.

由折叠可知:△ECM≌△DCM,

∴∠ECM=∠DCM,CE=CD,

∴∠BCE=∠BCD=30°,

∴BE=CE=AB.

在Rt△BCE中,tan∠BCE==tan30°,

考点: 相似形综合题.

 

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科目:初中数学 来源: 题型:阅读理解

25、(1)阅读理解:如图1是二环三角形,可得S=∠A1+∠A2+…+∠A6=360°
理由:连接A1A4
∵∠1+∠2+∠A1OA4=180°
∠A5+∠A6+∠A5OA6=180°
又∵∠A1OA4=∠A5OA6
∴∠1+∠2=∠A5+∠A6
∴∠A2+∠3+∠1+∠2+∠4+∠A3=360°
∴∠A2+∠3+∠A5+∠A6+∠4+∠A3=360°
即S=360°
(2)延伸探究:

①如图2是二环四边形,可得S=∠A1+∠A2+…+∠A8=720°,请你加以证明
②如图3是二环五边形,可得S=
1080
,聪明的你,能根据以上的规律直接写出二环n边形(n≥3的整数)中,S=
360(n-2)
度.(用含n的代数式表示最后的结果)

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科目:初中数学 来源: 题型:阅读理解

23、阅读理解:如图(1),已知直线m∥n,A、B 为直线n上两点,C、D为直线m上两点,容易证明:△ABC的面积=△ABD的面积.
根据上述内容解决以下问题:已知正方形ABCD的边长为4,G是边CD上一点,以CG为边作正方形GCEF.
(1)如图(2),当点G与点D重合时,△BDF的面积为
8

(2)如图(3),当点G是CD的中点时,△BDF的面积为
8

(3)如图(4),当CG=a时,则△BDF的面积为
8
,并说明理由.
探索应用:小张家有一块正方形的土地如图(5),由于修建高速公路被占去一块三角形BCP区域.现决定在DP右侧补给小张一块土地,补偿后,土地变为四边形ABMD,要求补偿后的四边形ABMD的面积与原来形正方形ABCD的面积相等且M在射线BP上,请你在图中画出M点的位置,并简要叙述做法.

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科目:初中数学 来源: 题型:阅读理解

阅读理解:如图1,在直角梯形ABCD中,AB∥CD,∠B=90°,点P在BC边上,当∠APD=90°时,易证△ABP∽△PCD,从而得到BP•PC=AB•CD,解答下列问题.
(1)模型探究:如图2,在四边形ABCD中,点P在BC边上,当∠B=∠C=∠APD时,求证:BP•PC=AB•CD;
(2)拓展应用:如图3,在四边形ABCD中,AB=4,BC=10,CD=6,∠B=∠C=60°,AO⊥BC于点O,以O为顶点,以BC所在直线为x轴,建立平面直角坐标系,点P为线段OC上一动点(不与端点O、C重合)
(i)当∠APD=60°时,求点P的坐标;
(ii)过点P作PE⊥PD,交y轴于点E,设PO=x,OE=y,求y与x的函数关系式,并写出自变量x的取值范围.精英家教网

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科目:初中数学 来源: 题型:阅读理解

(2012•台州模拟)阅读理解:如图1,在直角梯形ABCD中,AB∥CD,∠B=90°,点P在BC边上,当∠APD=90°时,易证△ABP∽△PCD,从而得到BP•PC=AB•CD,解答下列问题.
(1)模型探究:如图2,在四边形ABCD中,点P在BC边上,当∠B=∠C=∠APD时,结论BP•PC=AB•CD仍成立吗?试说明理由;
(2)拓展应用:如图3,M为AB的中点,AE与BD交于点C,∠DME=∠A=∠B=45°且DM交AC于F,ME交BC于G.AB=4
2
,AF=3,求FG的长.

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(2013•咸宁)阅读理解:
如图1,在四边形ABCD的边AB上任取一点E(点E不与点A、点B重合),分别连接ED,EC,可以把四边形ABCD分成三个三角形,如果其中有两个三角形相似,我们就把E叫做四边形ABCD的边AB上的相似点;如果这三个三角形都相似,我们就把E叫做四边形ABCD的边AB上的强相似点.解决问题:
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