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    7．如图，四边形ABCD中，∠A=90°，AB=$5\sqrt{3}$，BC=8，CD=6，AD=5．
    （1）求BD；
    （2）试判断A、B、C、D四点是否在同一个圆上．如果在同一个圆上，写出圆心和半径，如果不在同一个圆上，说明理由．

    分析 （1）根据勾股定理可求BD；
    （2）根据勾股定理的逆定理得到∠C=90°，即可得到结论．

    解答 解：连接BD，
    ∵∠B=90°，
    ∴在Rt△BAD中，BD=$\sqrt{A{D}^{2}+A{B}^{2}}$=10；
    （2）∵CD2+BC2=100=BD2，
    ∴∠C=90°，
    ∴∠A+∠C=180°，
    ∴A、B、C、D四点在同一个圆上．
    ∴圆心是BD的中点，半径是5．

    点评 本题考查的是勾股定理的逆定理、直角三角形的性质和圆的认识，掌握直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半、到定点的距离等于定长的点在同一个圆上是解题的关键．

    练习册系列答案
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    科目：初中数学 来源： 题型：解答题

    9．在正方形ABCD中，对角线AC、BD交于点O，动点P在线段BC上（不含点B），∠BPE=$\frac{1}{2}$∠ACB，PE交BO于点E，过点B作BF⊥PE，垂足为F，交AC于点G．

    （1）当点P与点C重合时（如图①），求证：△BOG≌△POE；
    （2）通过观察、测量、猜想：$\frac{BF}{PE}$=$\frac{1}{2}$，并结合图②证明你的猜想；
    （3）把正方形ABCD改为菱形，其他条件不变（如图③），若∠ACB=α，求$\frac{BF}{PE}$的值．（用含α的式子表示）

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    科目：初中数学 来源： 题型：解答题

    18．我市某中学为了进一步普及卫生知识、提高卫生意识、推广健康生活，今年3月份举行了一次卫生知识竞赛，这次竞赛中共有20道题，每一题答对得5分，答错或不答都扣3分．
    （1）小明考了68分，那么小明答对了多少道题？
    （2）小亮获得二等奖（70分～90分），请你算算小亮答对了几道题？

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    科目：初中数学 来源： 题型：解答题

    15．如图，在⊙O中，AB，BC为互相垂直且相等的两条弦，连接AC．求证：
    （1）AC是⊙O的直径；
    （2）作OD⊥AB于D，OE⊥BC于E，则四边形ODBE是正方形．

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    科目：初中数学 来源： 题型：填空题

    2．如图，在平面直角坐标系中，正方形ABCD的顶点A在y轴正半轴上，顶点B在x轴正半轴上，AC，OD交于点P，其中OA=4，OB=3．
    （1）则OD所在直线的解析式为y=$\frac{7}{4}$x；
    （2）则△AOP的面积为$\frac{224}{53}$．

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    科目：初中数学 来源： 题型：解答题

    12．用水平线和竖直线将平面分成若干个边长为1的小正方形格子，小正方形的顶点称为格点，以格点为顶点的多边形称为格点多边形．设格点多边形的面积为S，该多边形各边上的格点个数之和为m，内部的格点个数为n，试探究S与m、n之间的关系式．

    （1）根据图中提供的信息填表：
    格点多边形各边上的
    格点的个数    		格点边多边形内部的
    格点个数    		格点多边形的面积
    多边形1412
    多边形252②$\frac{7}{2}$
    多边形3635
    多边形4①54$\frac{11}{2}$
    一般格点多边形mnS
    则S=$\frac{1}{2}$m+n-1（用含m、n的代数式表示）
    （2）对正三角形网格中的类似问题进行探究：正三角形网格中每个小正三角形面积为1，小正三角形的顶点为格点，以格点为顶点的多边形称为格点多边形，如图1、2是该正三角形格点中的两个多边形：设格点多边形的面积为S，该多边形各边上的格点个数之和为m，内部的格点个数为n，试探究S与m、n之间的关系式．则S与m、n之间的关系为S=m+2（n-1）（用含m、n的代数式表示）．

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    科目：初中数学 来源： 题型：解答题

    19．已知：AD是△ABC的角平分线，DE∥AB，DF∥AC，交AB、AC分别为F，E，试判断四边形AFDE是怎样的四边形？证明你的结论．

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    科目：初中数学 来源： 题型：填空题

    16．定义运算“☆”，其规则为a☆b=$\frac{a+b}{a}$，则方程（4☆3）☆x=13的解为x=21．

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    科目：初中数学 来源： 题型：解答题

    17．阅读下列材料
    我们知道，假分数可以化为带分数．例如：$\frac{8}{3}$=$2+\frac{2}{3}$=$2\frac{2}{3}$．在分式中，对于只含有一个字母的分式，当分子的次数大于或等于分母的次数时，我们称之为“假分式”；当分子的次数小于分母的次数时，我们称之为“真分式”．例如：$\frac{x-1}{x+1}$，$\frac{x^2}{x-1}$这样的分式就是假分式；$\frac{3}{x+1}$，$\frac{2x}{{{x^2}+1}}$这样的分式就是真分式．类似的，假分式也可以化为带分式（即：整式与真分式和的形式）．
    例如：$\frac{x-1}{x+1}=\frac{（x+1）-2}{x+1}=\frac{x+1}{x+1}-\frac{2}{x+1}=1-\frac{2}{x+1}$；
    $\frac{x^2}{x-1}=\frac{{{x^2}-1+1}}{x-1}=\frac{（x+1）（x-1）+1}{x-1}=x+1+\frac{1}{x-1}$．
    （1）分式$\frac{2}{x}$是真分式（填“真分式”或“假分式”）；
    （2）将分式$\frac{x-1}{x+2}$化为带分式；
    （3）若分式$\frac{2x-1}{x+1}$的值为整数，求x的整数值．

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