Question

已知：关于x的一元二次方程x²-2（m+1）x+m²=0有两个整数根，m<5且m为整数。
（1）求m的值；
（2）当此方程有两个非零的整数根时，将关于x的二次函数y=x²-2（m+1）x+m²的图象沿x轴向左平移4个单位长度，求平移后的二次函数图象的解析式；
（3）当直线y=x+b与（2）中的两条抛物线有且只有三个交点时，求b的值。

Answer 1

解：（1）方程x²-2（m+1）x+m²=0有两个整数根，
∴△=4（m+l）²-4m²=8m+4≥0，且为完全平方数，
∵m<5且m为整数，
∴0≤8m+4<44，
∴m=0或4；
（2）当m=0时，方程的根为x₁=0，x₂=2；
当m=4时，方程的根为x₃= 8，x₄=2，
∵方程有两个非零的整数根，
∴m=4
∴二次函数y=x²-2（m+l）x+m²的解析式是y=x²-10x+16，
将y=x²-10x+16=（x-5）²-9的图象沿x轴向左平移4个单位长度得到：y=（x-1）² -9，
∴平移后的二次函数图象的解析式为y=x²-2x-8；
（3）当直线y=x+b与（2）中的两条抛物线有且只有三个交点时，可知直线与平移后的抛物线只有一个交点或者过两条抛物线的交点（3，-5），
①当直线y=x+b与平移后抛物线只有一个交点时，
由y=x²-2x-8，y=x+b，
得方程x²-2x-8=x+b，
即x²-3x-8-b=0，
∴△=41+4b=0，
∴b=-，
②当直线y=x+b过点（3，-5）时，b=-8，
综上所述，当直线y=x+b与（2）中的两条抛物线有且只有三个交点时，b=-或b=-8。