Question

18．如图，在Rt△ABC中，∠ABC=90°，BC=2$\sqrt{3}$，E，F分别为AB，AC的中点，过点B作AC的平行线与FE的延长线交于点D，连接BF，AD．
（1）求证：四边形ADBF为菱形；
（2）若∠C=30°，求四边形ADBC的面积．

Answer 1

分析 （1）根据平行线的性质得出∠DBE=∠EAF，求出AE=BE，证△AEF≌△BED，推出EF=DE，推出四边形ADBF是平行四边形，再求出AB⊥DF即可；
（2）求出EF=$\frac{1}{2}$BC=$\sqrt{3}$，∠AFE=∠C=30°，推出AF=2AE，由勾股定理得出AE²+（$\sqrt{3}$）²=（2AE）²，求出AE=1，求出AB=2AE=2，DF=2EF=2$\sqrt{3}$，即可求出四边形的面积．

解答 （1）证明：∵BD∥AC，
∴∠DBE=∠EAF，
∵E为AB中点，
∴AE=BE，
在△AEF和△BED中
$\left\{\begin{array}{l}{∠EAF=∠DBE}\\{AE=BE}\\{∠AEF=∠BED}\end{array}\right.$
∴△AEF≌△BED（ASA），
∴EF=DE，
∵AE=BE，
∴四边形ADBF是平行四边形，
∵E为AB中点，F为AC中点，
∴EF∥BC，
∵∠ABC=90°，
∴∠AEF=∠ABC=90°，
即AB⊥DF，
∴四边形ADBF为菱形；

（2）解：∵BC=2$\sqrt{3}$，E，F分别为AB，AC的中点，
∴EF∥BC，EF=$\frac{1}{2}$BC=$\sqrt{3}$，
∵∠C=30°，
∴∠AFE=∠C=30°，
∴AF=2AE，
在Rt△AEF中，由勾股定理得：AE²+（$\sqrt{3}$）²=（2AE）²，
解得：AE=1，
∵AE=BE=1，EF=DE，EF=$\sqrt{3}$
∴AB=2AE=2，DF=2EF=2$\sqrt{3}$，
∴四边形ADBC的面积S=S_菱形ADBF+S_△FBC=$\frac{1}{2}$AB×DF+$\frac{1}{2}$BC×BE=$\frac{1}{2}$×2×2$\sqrt{3}$+$\frac{1}{2}$×2$\sqrt{3}$×1=3$\sqrt{3}$．

点评 本题考查了勾股定理，全等三角形的性质和判定，含30°角的直角三角形性质，菱形的性质和判定，三角形的面积，平行四边形的判定的应用，能综合运用定理进行推理是解此题的关键，题目综合性比较强，难度适中．