Question

如图，形如量角器的半圆O的直径DE＝12 cm，形如三角板的△ABC中，∠ACB＝90°，∠ABC＝30°，BC＝12 cm．半圆O以2 cm/s的速度从左向右运动，在运动过程中，点D、E始终在直线BC上．设运动时间为t (s)，当t＝0 s时，半圆O在△ABC的左侧，OC＝8 cm．

(1)当t为何值时，△ABC的一边所在的直线与半圆O所在的圆相切？

(2)当△ABC的一边所在的直线与半圆O所在的圆相切时，如果半圆O与直径E围成的区域与△ABC三边围成的区域有重叠部分，求重叠部分的面积．

Answer 1

答案：
解析：

解：(1)①如图1，当点与点重合时，， cm，所以与半圆所在的圆相切．此时点运动了2 cm，所求运动时间为：． 　　②如图2，当点运动到点时，过点作，垂足为． 　　在Rt△中，， cm，则 cm，即等于半圆的半径，所以与半圆所在的圆相切．此时点运动了8 cm，所求运动时间为： 　　 　　③如图3，当点运动到的中点时，， cm，所以与半圆所在的圆相切．此时点运动了14 cm，所求运动时间为： 　　． 　　④如图4，当点运动到点的右侧，且 cm时，过点作直线，垂足为． 　　在Rt△中，，则 cm，即等于半圆所在的圆的半径，所以直线与半圆所在的圆相切．此时点运动了32 cm，所求运动时间为：． 　　因为半圆在运动中，它所在的圆与所在的直线相切只有上述①、③两种情形；与所在的直线相切只有上述②、④两种情形；与所在直线始终相交．所以只有当为，，，时，△的一边所在的直线与半圆所在圆相切． 　　(2)当△的一边所在的直线与半圆所在的圆相切时，半圆与直径围成的区域与△三边围成的区域有重叠部分的只有如图2与图3所示的两种情形． 　　①如图2，设与半圆的交点为，易知重叠部分是圆心角为，半径为6 cm的扇形，所求重叠部分面积为：　(cm)． 　　②如图3，设与半圆的交点为，连接，过点作，垂足为． 　　则．在Rt△中， 　　， cm，则 cm， cm， cm． 　　(cm)． 　　又， 　　(cm)． 　　所求重叠部分面积为：(cm)．