Question

9．已知射线OM，ON，∠MON=45°点A在射线OM上，点B在射线ON上，OA=1，若△AOB是轴对称图形，点P为AB的中点，则OP²=$\frac{5}{8}$或$\frac{2+\sqrt{2}}{4}$或$\frac{5}{4}$．

Answer 1

分析 根据△AOB是轴对称图形，需要分数轴情况进行讨论：当AB₁=OB₁时，△AOB₁是等腰直角三角形；当AO=B₂O时，△AOB₂是等腰三角形；当AO=AB₃时，△AOB₃是等腰直角三角形，分别根据等腰三角形的性质以及勾股定理进行计算，即可得到OP²的值．

解答 解：如图所示，分三种情况：
①当AB₁=OB₁时，△AOB₁是等腰直角三角形，AB₁=OB₁=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，
∴B₁P₁=$\frac{1}{2}$AB₁=$\frac{1}{2}$×$\frac{\sqrt{2}}{2}$=$\frac{\sqrt{2}}{4}$，
∴Rt△OB₁P₁中，OP₁²=OB₁²+B₁P₁²=（$\frac{\sqrt{2}}{2}$）²+（$\frac{\sqrt{2}}{4}$）²=$\frac{5}{8}$；
②当AO=B₂O时，△AOB₂是等腰三角形，
Rt△AB₁B₂中，AB₂=$\sqrt{A{{B}_{1}}^{2}+{B}_{1}{{B}_{2}}^{2}}$=$\sqrt{2-\sqrt{2}}$，
∵OP₂⊥AB₂，AB₁⊥OB₂，
∴$\frac{1}{2}$×AB₂×OP₂=$\frac{1}{2}$×OB₂×AB₁，
∴OP₂=$\frac{O{B}_{2}×A{B}_{1}}{A{B}_{2}}$=$\frac{1×\frac{\sqrt{2}}{2}}{\sqrt{2-\sqrt{2}}}$，
∴OP₂²=（$\frac{1×\frac{\sqrt{2}}{2}}{\sqrt{2-\sqrt{2}}}$）²=$\frac{2+\sqrt{2}}{4}$；
③当AO=AB₃时，△AOB₃是等腰直角三角形，
∵AP₃=$\frac{1}{2}$AB₃=$\frac{1}{2}$，
∴Rt△AOP₃中，OP₃²=AO²+AP₃²=1²+（$\frac{1}{2}$）²=$\frac{5}{4}$；
综上所述，OP²=$\frac{5}{8}$或$\frac{2+\sqrt{2}}{4}$或$\frac{5}{4}$．
故答案为：$\frac{5}{8}$或$\frac{2+\sqrt{2}}{4}$或$\frac{5}{4}$．

点评 本题主要考查了轴对称图形，勾股定理以及等腰三角形的性质的运用，解决问题的关键是依据分类思想，画出图形，运用勾股定理进行计算．