Question

如图，点A₁、A₂、A₃、…在平面直角坐标系x轴上，点B₁、B₂、B₃、…在直线y=

3

3

x+1上，△OA₁B₁、△A₁B₂A₂、△A₂B₃A₃…均为等边三角形，则A₂₀₁₄的横坐标

 

．

Answer 1

考点：一次函数图象上点的坐标特征,等边三角形的性质

专题：规律型

分析：作B₁D⊥x轴于D，B₂E⊥x轴于E，根据等边三角形的性质得OD=A₁D，A₁E=A₂E，∠OB₁D=30°，∠A₁B₂E=30°，设OD=t，A₁E=a，则B₁D=

3

t，B₂E=

3

a，则B₁点坐标为（t，

3

t），把B₁（t，

3

t）代入y=

3

3

x+1可解得t=

3

2

，于是得到A₁点的坐标为（

3

，0），则B₂点坐标为（

3

+a，

3

a），然后把B₂（

3

+a，

3

a）代入y=

3

3

x+1可解得a=

3

，于是得到A₂点的坐标为（3

3

，0），同理得到A₃点的坐标为（

3

+2

3

+6

3

，0），即（7

3

，0），按照此规律得到A₂₀₁₄的横坐标为（2ⁿ-1）

3

．

解答：解：作B₁D⊥x轴于D，B₂E⊥x轴于E，如图，
∵△OA₁B₁、△A₁B₂A₂均为等边三角形，
∴OD=A₁D，A₁E=A₂E，∠OB₁D=30°，∠A₁B₂E=30°，
设OD=t，A₁E=a，则B₁D=

3

t，B₂E=

3

a，
∴B₁点坐标为（t，

3

t），
把B₁（t，

3

t）代入y=

3

3

x+1得

3

t=

3

3

t+1，解得t=

3

2

，
∴A₁点的坐标为（

3

，0），
∴B₂点坐标为（

3

+a，

3

a），
把B₂（

3

+a，

3

a）代入y=

3

3

x+1得

3

a=

3

3

（

3

+a）+1，解得a=

3

，
∴A₂点的坐标为（3

3

，0），
同理得到A₃点的坐标为（

3

+6

3

，0），即（7

3

，0）
所以A₂₀₁₄的横坐标为（2²⁰¹⁴-1）

3

．
故答案为：（2²⁰¹⁴-1）

3

．

点评：本题考查了一次函数图象上点的坐标特征：一次函数y=kx+b，（k≠0，且k，b为常数）的图象是一条直线，直线上任意一点的坐标都满足函数关系式y=kx+b．也考查了等边三角形的性质．