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如图1,已知反比例函数y=
k
x
过点P,P点的坐标为(3-m,2m),m是分式方程
m-3
m-2
+1=
3
2-m
的解,PA⊥x轴于点A,PB⊥y轴于点B.
(1)求m值.
(2)试判断四边形PAOB的形状,并说明理由.
(2)如图2,连接AB,E为AB上的一点,EF⊥BP于点F,G为AE的中点,连接OG、FG,试问FG和OG有何数量关系?请写出你的结论并证明.
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分析:(1)解出分式方程,即可求出m的值;
(2)先根据三个角都是直角判断出四边形PAOB是矩形,再根据P点坐标为(2,2)判断出PB=PA,从而判断出四边形PAOB是正方形;
(3)延长FE交OA于点H,连接GH 根据∠HFB=∠FBO=∠BOH=90°判断出BOHF是矩形,再证出△GEF≌△GHO,即可判断OG=FG.
解答:解:(1)由题意解分式方程
m-3
m-2
+1=
3
2-m

整理得:
m-3+m-2=-3,
解得:m=1,
经检验知m=1是原分式方程的解.

(2)四边形PAOB是正方形.理由如下:
∵∠AOB=∠OBP=∠OAP=90°,
∴四边形PAOB是矩形,
又∵m=1,
∴P(2,2),
∴PB=PA=2,
∴四边形PAOB是正方形.

(3)OG=FG.
证明,如右图所示:精英家教网
延长FE交OA于点H,连接GH,
∵∠HFB=∠FBO=∠BOH=90°,
∴BOHF是矩形,
∴BF=OH,
∵∠FBE=∠FEB=45°,
∴EF=BF=OH,
∵∠EHA=90°,G为AE的中点,
∴GH=GE=GA,
∴∠GEH=∠GAH=45°,
∴∠GEF=∠GHO,
∴△GEF≌△GHO,
∴OG=FG.
点评:本题考查了反比例函数的性质、函数图象和点的坐标特征及分式方程的解法,综合性较强,是一道难度较大的中考题,要仔细解答.
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mx
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