Question

19．如图，在平面直角坐标系xOy中，直线y=$\frac{3}{4}$x+3与坐标轴交于A、B两点，坐标平面内有一点P（m，3），若以P、B、O三点为顶点的三角形与△AOB相似，则m=±4或±$\frac{9}{4}$．

Answer 1

分析 由在平面直角坐标系xOy中，直线y=$\frac{3}{4}$x+3与坐标轴交于A、B两点，可求得A与B的坐标，又由坐标平面内有一点P（m，3），可得∠AOB=∠OBP=90°，然后分别从当$\frac{OA}{BP}$=$\frac{OB}{OB}$时，△AOB∽△PBO，与当$\frac{OA}{OB}$=$\frac{OB}{BP}$时，△AOB∽△OBP，去分析求解即可求得答案．

解答 解：∵直线y=$\frac{3}{4}$x+3与坐标轴交于A、B两点，
∴点A（-4，0），点B（0，3），
∵P（m，3），
∵∠AOB=∠OBP=90°，
∴当$\frac{OA}{BP}$=$\frac{OB}{OB}$时，△AOB∽△PBO，
∴BP=OA=4，
∴m=±4；
当$\frac{OA}{OB}$=$\frac{OB}{BP}$时，△AOB∽△OBP，
∴BP=$\frac{O{B}^{2}}{OA}$=$\frac{9}{4}$，
∴m=±$\frac{9}{4}$．
故答案为：±4或±$\frac{9}{4}$．

点评 此题考查了相似三角形的性质．注意掌握分类讨论思想的应用是解此题的关键．