Question

13、若对于任意n个连续正整数中，总存在一个数的数字之和是8的倍数．试确定n的最小值．并说明理由．

Answer 1

分析：首先证n≤14时，题设的性质不成立，由当N=14时，对于9999993，9999994，…，10000006这14个连续整数，任意一个数的数字之和均不能被8整除，即可得n≤14时，题设的性质不成立；然后证n=15时，题设的性质成立，由于设a₁，a₂，…，a₁₅为任意的连续15个正整数，则这15个正整数中，个位数字为0的整数最多有两个，最少有一个，所以分别从当a₁，a₂，…，a₁₅中个位数字为0的整数有两个时与当a₁，a₂，…，a₁₅中个位数字为0的整数有一个时去分析即可求得答案．

解答：解：先证n≤14时，题设的性质不成立．
当N=14时，对于9999993，9999994，…，10000006这14个连续整数，任意一个数的数字之和均不能被8整除．
故n≤14时，题设的性质不成立．
因此，要使题设的性质成立，应有n≥15．
再证n=15时，题设的性质成立．
设a₁，a₂，…，a₁₅为任意的连续15个正整数，则这15个正整数中，个位数字为0的整数最多有两个，最少有一个，可以分为：
（1）当a₁，a₂，…，a₁₅中个位数字为0的整数有两个时，
设a_i＜a_j，且a_i、a_j的个位数字为0，则满足a_i，a_i+1，…，a_i+9，a_j为连续的11个整数，其中a_i，a_i+1，…，a_i+9，a_j无进位．
设n_i表示a_i各位数字之和，则前10个数各位数字之和分别为n_i，n_i+1，…，n_i+9．
故这连续的10个数中至少有一个被8整除．
（2）当a₁，a₂，…，a₁₅中个位数字为0的整数有一个时（记为a_i），
①若整数i满足1≤i≤8时，则在a_i后面至少有7个连续整数，于是a_i，a_i+1，…，a_i+7这8个连续整数的个位数字之和也为8个连续整数，所以，必有一个数能被8整除．
②若整数i满足9≤i≤15时，则在a_i前面至少有8个连续整数，不妨设a_i-8，a_i-7，…，a_i-1这8个连续整数的个位数字之和也为8个连续整数，所以，必有一个数能被8整除．
综上，对于任意15个连续整数中，必有一个数，其各位数字之和是8的倍数．
而小于15个的任意连续整数不成立此性质．
∴n的最小值是15．

点评：此题考查了整数问题的综合应用．此题难度较大，解题的关键是注意分类讨论你思想的应用．