Question

16．已知：如图，在△ABC中，AM是边BC的中线，O为AM上的任意一点，BO的延长线交AC于点D，CO的延长线交AB于点E，求证：ED∥BC．

Answer 1

分析 根据三角形面积公式易得S_△ABD=S_△ACD，S_△BOD=S_△COD，把它们相减即可得到S_△ABO=S_△ACO，再计算$\frac{AE}{BE}$=$\frac{{S}_{△ACE}}{{S}_{△BCE}}$=$\frac{{S}_{△AOE}}{{S}_{△BOE}}$=$\frac{{S}_{△ACE}-{S}_{△AOE}}{{S}_{△BCE}{-S}_{△BOE}}$=$\frac{{S}_{△AOC}}{{S}_{△BOC}}$，同理可得$\frac{AD}{CD}$=$\frac{{S}_{△AOB}}{{S}_{△BOC}}$，$\frac{AE}{BE}$=$\frac{AD}{CD}$，然后根据如果一条直线截三角形的两边（或两边的延长线）所得的对应线段成比例，那么这条直线平行于三角形的第三边得到结论．

解答 证明：∵AM是边BC的中线，
∴BM=CM，
∴S_△ABM=S_△ACM，S_△BOM=S_△COM，
∴S_△ABO=S_△ACO，
∵$\frac{AE}{BE}$=$\frac{{S}_{△ACE}}{{S}_{△BCE}}$=$\frac{{S}_{△AOE}}{{S}_{△BOE}}$=$\frac{{S}_{△ACE}-{S}_{△AOE}}{{S}_{△BCE}{-S}_{△BOE}}$=$\frac{{S}_{△AOC}}{{S}_{△BOC}}$，
同理可得$\frac{AD}{CD}$=$\frac{{S}_{△AOB}}{{S}_{△BOC}}$，
∴$\frac{AE}{BE}$=$\frac{AD}{CD}$，
∴ED∥BC．

点评 本题考查了平行线分线段成比例：三条平行线截两条直线，所得的对应线段成比例；如果一条直线截三角形的两边（或两边的延长线）所得的对应线段成比例，那么这条直线平行于三角形的第三边．