【题目】(8分)如图,AC是ABCD的一条对角线,过AC中点O的直线分别交AD,BC于点E,F.
(1)求证:△AOE≌△COF;
(2)当EF与AC满足什么条件时,四边形AFCE是菱形?并说明理由.
【答案】(1)参见解析;(2)EF⊥AC时,四边形AFCE是菱形.
【解析】
试题(1)由平行四边形的性质得出AD∥BC,得出∠EAO=∠FCO,利用对顶角相等∠AOE=∠COF,O是AC的中点,OA=OC,所以由ASA即可得出结论;(2)此题应用菱形的判定,先说明四边形AFCE已经是平行四边形,再应用对角线互相垂直的平行四边形是菱形即可.由△AOE≌△COF,得出对应边相等AE=CF,证出四边形AFCE是平行四边形,再由对角线EF⊥AC,即可得出四边形AFCE是菱形.
试题解析:(1)∵四边形ABCD是平行四边形,∴AD∥BC,∴∠EAO=∠FCO,∵O是CA的中点,∴OA=OC,又∵∠AOE=∠COF(对顶角相等),∴△AOE≌△COF(ASA);(2)∵△AOE≌△COF,∴AE=CF,∵AE∥CF,∴四边形AFCE是平行四边形(一组对边平行且相等的四边形是平行四边形),当EF⊥AC时四边形AFCE是菱形(对角线互相垂直的平行四边形是菱形),∴EF⊥AC时,四边形AFCE是菱形.
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【题目】如图,四边形ABCD内接于⊙O,AB是⊙O的直径,AC和BD相交于点E,且DC2=CECA.
(1)求证:BC=CD;
(2)分别延长AB,DC交于点P,若PB=OB,CD=2,求⊙O的半径.
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【题目】如图,在直角坐标系平面内,函数y=(x>0,m是常数)的图象经过A(1,4)、B(a,b),其中a>1,过点A作x轴的垂线,垂足为C,过点B作y轴的垂线,垂足为D,连接AD,AB,DC,CB.
(1)求反比例函数解析式;
(2)当△ABD的面积为S,试用a的代数式表示求S.
(3)当△ABD的面积为2时,判断四边形ABCD的形状,并说明理由.
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【题目】如图,A、B是双曲线y=(k>0)上的点,A、B两点的横坐标分别是a、3a,线段AB的延长线交x轴于点C,若S△AOC=3.则k的值为( )
A. 2 B. 1.5 C. 4 D. 6
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【题目】如图,直线y1=﹣x+4,y2=x+b都与双曲线y=交于点A(1,m),这两条直线分别与x轴交于B,C两点.
(1)求y与x之间的函数关系式;
(2)直接写出当x>0时,不等式x+b>的解集;
(3)若点P在x轴上,连接AP把△ABC的面积分成1:3两部分,求此时点P的坐标.
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【题目】阅读下面材料,完成(1)-(3)题:数学课上,老师出示了这样一道题:如图1,点是正边上一点以为边做正,连接.探究线段与的数量关系,并证明.同学们经过思考后,交流了自已的想法:
小明:“通过观察和度量,发现与相等.”
小伟:“通过全等三角形证明,再经过进一步推理,可以得到线段平分.”......
老师:“保留原题条件,连接,是的延长线上一点,(如图2),如果,可以求出、、三条线段之间的数量关系.”
(1)求证;
(2)求证线段平分;
(3)探究、、三条线段之间的数量关系,并加以证明.
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【题目】如图,在△ABC的一边AB上有一点P.
(1)能否在另外两边AC和BC上各找一点M、N,使得△PMN的周长最短.若能,请画出点M、N的位置,若不能,请说明理由;
(2)若∠ACB=40°,在(1)的条件下,求出∠MPN的度数.
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【题目】甲、乙两人在一条笔直的道路上相向而行,甲骑自行车从A地到B地,乙驾车从B地到A地,他们分别以不同的速度匀速行驶,已知甲先出发6分钟后,乙才出发,在整个过程中,甲、乙两人的距离y(千米)与甲出发的时间x(分)之间的关系如图所示,乙从B地到A地需要( )分钟
A.12B.14C.18D.20
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