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19.如图,已知AC⊥BC,CD⊥AB,DE⊥AC,∠1与∠2互补,判断HF与AB是否垂直,并说明理由(填空).
解:垂直.理由如下:
∵DE⊥AC,AC⊥BC,
∴∠AED=∠ACB=90°(①在同一平面内,垂直于同一直线的两条直线互相平行).
∴DE∥BC(②同位角相等,两直线平行)
∴∠1=∠DCB(③两直线平行,内错角相等)
∵∠1与∠2互补(已知).
∴∠DCB与∠2互补
∴DC∥FH(④同旁内角互补,两直线平行)
∴∠BFH=∠CDB(⑤两直线平行,同位角相等)
∵CD⊥AB,
∴∠CDB=90°.
∴∠BFH=90°(⑥等量代换).
∴HF⊥AB.

分析 根据AC⊥BC,DE⊥AC,易证DE∥BC,于是∠1=∠DCB,而∠1与∠2互补,那么∠2+∠DCB=180°,从而可证FH∥CD,结合CD⊥AB,易得∠HFD=90°,即HF⊥AB.

解答 解:垂直.理由如下:
∵DE⊥AC,AC⊥BC,
∴∠AED=∠ACB=90°(在同一平面内,垂直于同一直线的两条直线互相平行)
∴DE∥BC(同位角相等,两直线平行),
∴∠1=∠DCB(两直线平行,内错角相等);
∵∠1与∠2互补(已知),
∴∠DCB与∠2互补,
∴DC∥FH(同旁内角互补,两直线平行),
∴∠BFH=∠CDB(两直线平行,同位角相等);
∵CD⊥AB,
∴∠CDB=90°,
∴∠HFB=90°(等量代换),
∴HF⊥AB.
故答案是:①在同一平面内,垂直于同一直线的两条直线互相平行;②同位角相等,两直线平行;③两直线平行,内错角相等;④同旁内角互补,两直线平行;⑤两直线平行,同位角相等;⑥等量代换.

点评 本题考查了平行线的判定与性质.熟练掌握平行线的性质及判定是解题的关键.

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