Question

已知四边形ABCD中，AD∥BC，AB=AD，∠ABC=2∠C=2α，点E在AD上，点F在DC上．
（1）如图1，若α=45°，∠BDC的度数为

90°

；
（2）如图2，当α=45°，∠BEF=90°时，求证：EB=EF；
（3）如图3，若α=30°，则当∠BEF=

120°

时，使得EB=EF成立？（请直接写出结果）

Answer 1

分析：（1）求出∠ABC、∠C，求出∠ADB=∠ABD=∠DBC=45°，根据三角形内角和定理求出即可．
（2）连接BD，作EM∥AB交BD于M，求出∠A=90°，根据平行线性质推出△EMD是等腰直角三角形，得出DE=EM，求出∠MEB=∠DEF=90°-∠MEF，∠EMB=∠EDF=135°，根据ASA推出△EMB≌△EDF即可．
（3）连接BD，作EM∥AB交BD于M，求出∠MEB=∠DEF，∠EMB=∠EDF=150°，根据ASA推出△EMB≌△EDF即可．．

解答：（1）解：∵α=45°，∠ABC=2∠C=2α，
∴∠ABC=2α=90°，∠C=45°，
∵AD∥BC，AD=AB，
∴∠ADB=∠DBC=∠ABD=

1

2

∠ABC=45°，
∴∠BDC=180°-45°-45°=90°，
故答案为：90°．

（2）证明：
连接BD，作EM∥AB交BD于M，
∵∠ABC=90°，∠ABD=∠ADB=45°，AD∥BC，
∴∠A=90°，
∴∠EMD=∠EDM=45°，∠DEM=∠A=90°
∴△EMD是等腰直角三角形，
∴DE=EM，
∵∠DEM=∠BEF=90°，
∴∠MEB=∠DEF=90°-∠MEF，
∵∠EMD=∠EDM=45°，∠BDC=90°，
∴∠EMB=∠EDF=135°，
∴在△EMB和△EDF中

∠MEB=∠DEF EM=ED ∠EMB=∠EDF

∴△EMB≌△EDF（ASA），
∴EB=EF．

（3）解：当∠BEF=120°时，EB=EF成立，
理由是：连接BD，作EM∥AB交BD于M，
∵α=30°，
∴∠C=30°，∠ABC=2∠C=60°，
∵AD∥BC，
∴∠A=120°，∠EDF=180°-30°=150°，
∵EM∥AB，
∴∠DEM=∠A=120°=∠BEF，
∴∠MEB=∠DEF=120°-∠MEF，
∵∠EMD=∠ABD=∠ADB=30°，
∴∠EMB=180°-30°=150°=∠EDF，EM=ED，
∴在△EMB和△EDF中

∠MEB=∠DEF EM=ED ∠EMB=∠EDF

∴△EMB≌△EDF（ASA），
∴EB=EF，
故答案为：120°．

点评：本题考查了全等三角形性质和判定，平行线性质，等腰直角三角形的性质，平行线的性质的应用，注意：全等三角形的判定定理有SAS，ASA，AAS，SSS，全等三角形的对应边相等．