【题目】如图,AB是⊙O的直径,D,E为⊙O上位于AB异侧的两点,连接BD并延长至点C,使得CD=BD,连接AC交⊙O于点F,连接AE,DE,DF.
(1)证明:∠E=∠C;
(2)若∠E=55°,求∠BDF的度数.
【答案】(1)详见解析;(2)110°.
【解析】
(1)连接AD,利用直径所对的圆周角为直角,可得AD⊥BC,再根据CD=BD,故AD垂直平分BC,根据垂直平分线上的点到线段两个端点的距离相等,可得:AB=AC,再根据等边对等角和同弧所对的圆周角相等即可得到∠E=∠C;
(2)根据内接四边形的性质:四边形的外角等于它的内对角,可得∠CFD=∠E=55°,再利用外角的性质即可求出∠BDF.
(1)证明:连接AD,如图所示:
∵AB是⊙O的直径,
∴∠ADB=90°,即AD⊥BC,
∵CD=BD,
∴AD垂直平分BC,
∴AB=AC,
∴∠B=∠C,
∵∠B=∠E,
∴∠E=∠C;
(2)解:∵四边形AEDF是⊙O的内接四边形,
∴∠AFD=180°﹣∠E,
∵∠CFD=180°﹣∠AFD,
∴∠CFD=∠E=55°,
由(1)得:∠E=∠C=55°,
∴∠BDF=∠C+∠CFD=55°+55°=110°.
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【题目】已知一元二次方程:
①若方程两根为-1和2,则;
②若,则一元二次方程有两个不相等的实数根;
③若,则一元二次方程有两个不相等的实数根;
④若是方程的一个根,则一定有成立.
其中正确的是__________.
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【题目】(10分)如图1,在Rt△ABC中,∠B=90°,BC=2AB=8,点D,E分别是边BC,AC的中点,连接DE. 将△EDC绕点C按顺时针方向旋转,记旋转角为α.
(1)问题发现
① 当时,;② 当时,
(2)拓展探究
试判断:当0°≤α<360°时,的大小有无变化?请仅就图2的情况给出证明.
(3)问题解决
当△EDC旋转至A、D、E三点共线时,直接写出线段BD的长.
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【题目】某中学九(1)班为了了解全班学生喜欢球类活动的情况,采取全面调查的方法,从足球、乒乓球、篮球、排球等四个方面调查了全班学生的兴趣爱好,根据调查的结果组建了4个兴趣小组,并绘制成如图所示的两幅不完整的统计图(如图①,②,要求每位学生只能选择一种自己喜欢的球类),请你根据图中提供的信息解答下列问题:
(1)九(1)班的学生人数为 ,并把条形统计图补充完整;
(2)扇形统计图中m= ,n= ,表示“足球”的扇形的圆心角是 度;
(3)排球兴趣小组4名学生中有3男1女,现在打算从中随机选出2名学生参加学校的排球队,请用列表或画树状图的方法求选出的2名学生恰好是1男1女的概率.
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【题目】如图,反比例函数y=的图象与一次函数y=ax﹢b的图象交于C(4,﹣3),E(﹣3,4)两点.且一次函数图象交y轴于点A.
(1)求反比例函数与一次函数的解析式;
(2)求△COE的面积;
(3)点M在x轴上移动,是否存在点M使△OCM为等腰三角形?若存在,请你直接写出M点的坐标;若不存在,请说明理由.
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【题目】(本题满分8分)
在一次运输任务中,一辆汽车将一批货物从甲地运往乙地,到达乙地卸货后返回.设汽车从甲地出发(h)时,汽车与甲地的距离为(km),与的函数关系如图所示.
根据图象信息,解答下列问题:
(1)这辆汽车的往、返速度是否相同?请说明理由;
(2)求返程中与之间的函数表达式;
(3)求这辆汽车从甲地出发4h时与甲地的距离.
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【题目】为解方程(x2﹣1)2﹣5(x2﹣1)+4=0,我们可以将x2﹣1视为一个整体,然后设x2﹣1=y,则
(x2﹣1)=y2,原方程化为y2﹣5y+4=0.①
解得y1=1,y2=4
当y=1时,x2﹣1=1.∴x2=2.∴x=±;
当y=4时,x2﹣1=4,∴x2=5,∴x=±.
∴原方程的解为x1=,x2=﹣,x3=,x4=﹣
解答问题:
(1)填空:在由原方程得到方程①的过程中,利用 法达到了降次的目的,体现了 的数学思想.
(2)解方程:x4﹣x2﹣6=0.
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【题目】如图为二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象,则下列说法:①a>0 ②2a+b=0 ③a+b+c>0 ④当﹣1<x<3时,y>0,其中正确的个数为( )
A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
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