Question

6．如图，在直角坐标平面内，点A的坐标为（0，4），点B是x轴上一点，以AB为边，在AB的一侧作正方形ABCD，对角线AC、BD相交于点E，过点C向x轴做垂线，垂足为F，点G是OF的中点，连接EG．
（1）如果点B的坐标为（1，0），求点C的坐标；
（2）当点B在x轴正半轴上时，如果点B的坐标为（a，0），△BEG的面积为S，写出S关于a的函数解析式及定义域．
（3）当△BEG的面积为$\frac{3}{2}$时，求线段EG的长．

Answer 1

分析 （1）先判断出∠CBF=∠OAB，进而判断出△AOB≌△BF，即可求出OF=OB+BF，即可；
（2）先判断出EG是梯形AOFC的中位线，即可表示出EG，OG，分两种情况利用三角形的面积公式即可；
（3）分点B在x轴正半轴和负半轴两种情况：当点B在x轴正半轴时，借助（2）的结论即可，
当点B在x轴负半轴上，利用三角形的中位线表示出EG，同（2）的方法得出三角形的面积带入即可．

解答 解：（1）证明：∵四边形ABCD是正方形，
∴AB=BC，∠ABC=90°，
∴∠ABO+∠CBF=90°，
∵∠AOB=90°，
∴∠ABO+∠OAB=90°，
∴∠CBF=∠OAB，
∵CF⊥OF，
∴∠BCF=∠AOB=90°，
∴△AOB≌△BFC，
∴AO=BF=4，OB=FC=1，
∴OF=OB+BF=5，
∴C（5，1），

（2）∵AO⊥OF，CF⊥OF，
∴AO∥CF，当B，G不重合时，AO与CF不相等，四边形AOFC是梯形，
∵四边形ABCD的对角线相交于E，
∴AE=EC，
∵点G是OF的中点，
∴EG是梯形AOFC的中位线，
∵△AOB≌△BFC，
∴AO=BF=4，OB=FC=a，
∴OF=a+4，EG=$\frac{1}{2}$（AO+CF）=2+$\frac{a}{2}$，
∴OG=$\frac{1}{2}$OF=2+$\frac{a}{2}$，
当0＜a＜4时，BG=OG-OB=2+$\frac{a}{2}$-a=2-$\frac{a}{2}$，
∴S=$\frac{1}{2}$BG•EG=$\frac{1}{2}$（2-$\frac{a}{2}$）（2+$\frac{a}{2}$）=2-$\frac{{a}^{2}}{8}$
当a＞4时，BG=OB-OG=a-（2+$\frac{a}{2}$）=$\frac{a}{2}$-2，
∴S=$\frac{1}{2}$BG•EG═$\frac{1}{2}$（$\frac{a}{2}$-2）（2+$\frac{a}{2}$）=$\frac{{a}^{2}}{8}$-2；

（3）当点B在x轴正半轴上，
当0＜a＜4时，由（2）知，S=2-$\frac{{a}^{2}}{8}$，
∵S=$\frac{3}{2}$，
∴2-$\frac{{a}^{2}}{8}$=$\frac{3}{2}$，
∴a=-2（舍）或a=2，
∴EG=2+$\frac{a}{2}$=2+1=3，
当a＞4时，由（2）知，S=$\frac{{a}^{2}}{8}$-2，
∵S=$\frac{3}{2}$，
∴$\frac{{a}^{2}}{8}$-2=$\frac{3}{2}$，
∴a=-2$\sqrt{7}$（舍）或a=2$\sqrt{7}$，
∴EG=2+$\frac{a}{2}$=2+$\sqrt{7}$，
当点B在x轴负半轴时，当-4＜a＜0时，如图1，
连接OC，延长EG交OC于H，
∵△AOB≌△BFC，
∴AO=BF=4，OB=FC=-a，
∴OF=4+a，
∵四边形ABCD的对角线相交于E，
∴AE=EC，
∵点G是OF的中点，
∴EH是△OAC的中位线，GH是△OCF的中位线，
∴EH=$\frac{1}{2}$OA=2，GH=$\frac{1}{2}$CF=-$\frac{a}{2}$，EG=EH-GH=2+$\frac{a}{2}$
∴OG=$\frac{1}{2}$OF=2+$\frac{a}{2}$，
BG=OG-OB=2+$\frac{a}{2}$+（-a）=2-$\frac{a}{2}$，
∴S=$\frac{1}{2}$BG•EG=$\frac{1}{2}$（2-$\frac{a}{2}$）（2+$\frac{a}{2}$）=2-$\frac{{a}^{2}}{8}$，
∵S=$\frac{3}{2}$，
∴2-$\frac{{a}^{2}}{8}$=$\frac{3}{2}$，
∴a=-2或a=2（舍），
∴EG=2+$\frac{a}{2}$=2-1=1
当a＜-4时，如图2，
连接OC，延长EG交OC于H，
∵△AOB≌△BFC，
∴AO=BF=4，OB=FC=-a，
∴OF=-a-4，
∵四边形ABCD的对角线相交于E，
∴AE=EC，
∵点G是OF的中点，
∴GH是△OAC的中位线，EH是△OCF的中位线，
∴GH=$\frac{1}{2}$FC=-$\frac{a}{2}$，EH=$\frac{1}{2}$OA=2，EG=GH-EH=-$\frac{a}{2}$-2，
∴OG=$\frac{1}{2}$OF=-$\frac{a}{2}$-2，
BG=OB-OG=-a-（-$\frac{a}{2}$-2）=-$\frac{a}{2}$+2，
∴S=$\frac{1}{2}$BG•EG=$\frac{1}{2}$（-$\frac{a}{2}$+2）（-$\frac{a}{2}$-2）=$\frac{{a}^{2}}{8}$-2；
∵S=$\frac{3}{2}$，
∴$\frac{{a}^{2}}{8}$-2=$\frac{3}{2}$，
∴a=-2$\sqrt{7}$或a=2$\sqrt{7}$（舍），
∴EG=-$\frac{a}{2}$-2=$\sqrt{7}$-2．

点评 此题是四边形综合题，主要考查了正方形的性质，全等三角形的判定和性质，梯形的中位线，三角形的中位线，解（1）的关键是判断出△AOB≌△BFC，解（2）的关键是判断出EG是梯形AOFC的中位线，解（3）的关键是判断出GH是△OAC的中位线，EH是△OCF的中位线，是一道很好的中考压轴题．