Question

如图，抛物线y＝mx²－11mx＋24m(m＜0)与x轴交于B、C两点(点B在点C的左侧)，抛物线另有一点A在第一象限内，且∠BAC＝90°．

(1)填空：OB＝________，OC＝________；

(2)连接OA，将△OAC沿x轴翻折后得△ODC，当四边形OACD是菱形时，求此时抛物线的解析式；

(3)如图，设垂直于x轴的直线l：x＝n与(2)中所求的抛物线交于点M，与CD交于点N，若直线l沿x轴方向左右平移，且交点M始终位于抛物线上A、C两点之间时，试探究：当n为何值时，四边形AMCN的面积取得最大值，并求出这个最大值．

Answer 1

答案：
解析：

解：(1)OB＝3，OC＝8　　4分 　　(2)连接OD，交OC于点E 　　∵四边形OACD是菱形 　　∴AD⊥OC，OE＝EC＝×8＝4 　　∴BE＝4－3＝1 　　又∵∠BAC＝90°， 　　∴△ACE∽△BAE 　　∴＝ 　　∴AE2＝BE·CE＝1×4 　　∴AE＝2　　6分 　　∴点A的坐标为(4，2)　　7分 　　把点A的坐标(4，2)代入抛物线y＝mx2－11mx＋24m，得m＝－ 　　∴抛物线的解析式为y＝－x2＋x－12　　9分 　　(3)∵直线x＝n与抛物线交于点M 　　∴点M的坐标为(n，－n2＋n－12) 　　由(2)知，点D的坐标为(4，－2)， 　　则C、D两点的坐标求直线CD的解析式为y＝x－4 　　∴点N的坐标为(n，n－4) 　　∴MN＝(－n2＋n－12)－(n－4)＝－n2＋5n－8　　11分 　　∴S四边形AMCN＝S△AMN＋S△CMN＝MN·CE＝(－n2＋5n－8)×4 　　＝－(n－5)2＋9　　13分 　　∴当n＝5时，S四边形AMCN＝9　　14分