Question

【题目】平面直角坐标系中有两点、，我们定义、两点间的“值”直角距离为，且满足，其中．小静和佳佳在解决问题：（求点与点的“1值”直角距离）时，采用了两种不同的方法：

（方法一）：；

（方法二）：如图1，过点作轴于点，过点作直线与轴交于点，则

请你参照以上两种方法，解决下列问题：

（1）已知点，点，则、两点间的“2值”直角距离．

（2）函数的图像如图2所示，点为其图像上一动点，满足两点间的“值”直角距离，且符合条件的点有且仅有一个，求出符合条件的“值”和点坐标．

（3）城市的许多街道是相互垂直或平行的，因此，往往不能沿直线行走到达目的地，只能按直角拐弯的方式行走，因此，两地之间修建垂直和平行的街道常常转化为两点间的“值”直角距离，地位于地的正东方向上，地在点东北方向上且相距，以为圆心修建了一个半径为的圆形湿地公园，现在要在公园和地之间修建观光步道．步道只能东西或者南北走向，并且东西方向每千米成本是20万元，南北方向每千米的成本是10万元，问：修建这一规光步道至少要多少万元？

Answer 1

【答案】（1）10 （2）， （3）

【解析】

（1）根据直角距离的公式，直接代入求解即可；

（2）设点C的坐标为，代入直角距离公式可得根据根的判别式求出k的值，即可求出点C的坐标；

（3）如图，⊙C与线段AC交于点D，过点D作与AB交于点E，先证明△ADE是等腰直角三角形，从而得出，再根据直角距离的定义，即可求出出最低的成本．

（1）∵，点，点

∴；

（2）设点C的坐标为

∵

∴

∵

∴

∴

∵符合条件的点有且仅有一个，且

∴

解得

∴

解得

∴

故，；

（3）如图，⊙C与线段AC交于点D，过点D作与AB交于点E

由题意得

∴

∵

∴△ADE是等腰直角三角形

∴

∵步道只能东西或者南北走向，并且东西方向每千米成本是20万元，南北方向每千米的成本是10万元

∴步道的最短距离为A和D的直角距离，即

最低总成本（万元）

故修建这一规光步道至少要万元．