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    运用“同一图形的面积用不同的表示方式”可以证明一类含有线段的等式，这种解决问题的方法我们称之为面积法．在解决几何问题时，我们常常用到这种“面积法”．

    （1）在△ABC中，∠BAC=90°，AB=5，AC=12．请用“面积法”解决下列问题：
    ①如图①，若AD是BC边上的高，则AD=
     
    ；
    ②如图②，若⊙O是△ABC的内切圆，则⊙O的半径为
     
    ．
    （2）如图2，等腰△ABC中，AB=AC，AC边上的高为h，M是底边BC上的任意一点，点M到腰AB，AC的距离分别为h1，h2．请用面积法证明：h1+h2=h．
    （3）如图3，在平面直角坐标系中，抛物线y=-
    3
    4
    x2-
    9
    4
    x+3交x轴于A，B两点，交y轴于点C，线段BC上的一点M到AC的距离是1．请运用（2）的结论求出点M的坐标．
    考点：圆的综合题
    专题：综合题
    分析：（1）①如图①，先根据勾股定理计算出BC，再根据三角形面积公式得到
    1
    2
    AD•BC=
    1
    2
    AC•AB，则可计算出AD；
    ②如图②，设⊙O的半径为R，作OD⊥AB于D，OE⊥BC于E，OF⊥AC于F，连接OA、OB、OC，根据切线的性质得OD=OE=OF=R，由于S△ABC=S△OAB+S△OBC+S△OAC，根据三角形面积公式得到
    1
    2
    R•AB+
    1
    2
    R•BC+
    1
    2
    R•AC=
    1
    2
    AB•AC，从而可计算出R．
    （2）连接AM，如图2，由于S△ABC=S△ABM+S△ACM，根据三角形面积公式得到
    1
    2
    BD•AC=
    1
    2
    AB•ME+
    1
    2
    AC•MF，即h•AC=AB•h1+AC•h2，利用AB=AC，即可得到h1+h2=h．
    （3）作MD⊥AC于D，ME⊥AB于E，如图3，把x=0代入y=-
    3
    4
    x2-
    9
    4
    x+3得y=0，可确定C点坐标（0，3），把y=0代入y=-
    3
    4
    x2-
    9
    4
    x+3，解方程可确定点A坐标（-4，0），B点坐标为（1，0），则利用勾股定理可计算出AC，从而得AB=AC=5，利用（2）的结论得到MD+ME=OC，而MD=1，OC=3，于是ME=2，然后证明△BME∽△BCO，利用相似比计算出ME=
    2
    3
    ，则OE=1-
    2
    3
    =
    1
    3
    ，于是可得到M点坐标为（
    1
    3
    ，2）．
    解答：（1）解：①如图①，

    ∵∠BAC=90°，AB=5，AC=12．
    ∴BC=
    		AC2+AB2
    =13，
    ∵AD是BC边上的高，
    ∴
    1
    2
    AD•BC=
    1
    2
    AC•AB，
    ∴AD=
    5×12
    13
    =
    60
    13
    ；
    ②如图②，设⊙O的半径为R，作OD⊥AB于D，OE⊥BC于E，OF⊥AC于F，连接OA、OB、OC，

    ∵⊙O是△ABC的内切圆，
    ∴OD=OE=OF=R，
    ∵S△ABC=S△OAB+S△OBC+S△OAC，
    ∴
    1
    2
    R•AB+
    1
    2
    R•BC+
    1
    2
    R•AC=
    1
    2
    AB•AC，
    ∴
    1
    2
    ×（5+12+13）×R=
    1
    2
    ×5×12，
    ∴R=2．
    故答案为：
    60
    13
    ，2；

    （2）证明：连接AM，如图2，

    ∵S△ABC=S△ABM+S△ACM，
    ∴
    1
    2
    BD•AC=
    1
    2
    AB•ME+
    1
    2
    AC•MF，即h•AC=AB•h1+AC•h2，
    ∵AB=AC，
    ∴h1+h2=h．

    （3）解：作MD⊥AC于D，ME⊥AB于E，如图3，

    把x=0代入y=-
    3
    4
    x2-
    9
    4
    x+3得y=3，则C点坐标为（0，3），
    把y=0代入y=-
    3
    4
    x2-
    9
    4
    x+3得-
    3
    4
    x2-
    9
    4
    x+3=0，解得x1=-4，x2=1，则A点坐标为（-4，0），B点坐标为（1，0），
    ∴AC=
    		OA2+OC2
    =
    		42+32
    =5，
    而AB=1-（-4）=5，
    ∴AB=AC，
    ∴由（2）的结论可知MD+ME=OC，
    而MD=1，OC=3，
    ∴ME=2，
    ∵ME∥OC，
    ∴△BME∽△BCO，
    ∴
    ME
    OC
    =
    BE
    BO
    ，即
    2
    3
    =
    BE
    1
    ，解得BE=
    2
    3
    ，
    ∴OE=1-
    2
    3
    =
    1
    3
    ，
    ∴M点坐标为（
    1
    3
    ，2）．
    点评：本题考查了圆的综合题：熟练掌握切线的性质、二次函数与x轴的交点问题和三角形面积公式；会利用勾股定理和相似比进行几何计算．
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    计算：
    （1）3
    		20
    -
    		45
    -
    1
    5
    ；      
    （2）
    2
    9
    +
    		50
    -
    		32
    ．

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    ，常量是
     
    ．

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    ．

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