Question

2．已知直线y=kx与双曲线y=$\frac{k}{x}$（k＞0）交于点P和Q，点P在第一象限，点A的坐标为（2k，0），若△PAQ是直角三角形，求∠POA的度数．

Answer 1

分析 先求得交点P（1，k），Q（-1，-k），①当∠APQ=90°时，根据勾股定理求得OP=$\sqrt{1+{k}^{2}}$，然后根据余弦函数即可求得k的值，从而求得∠POA的度数．②当∠PAQ=90°时，
作PC⊥OA于C，QD⊥x轴于D，证得△APC∽△QAD，得出$\frac{k}{2k+1}$=$\frac{2k-1}{k}$，解得k=$\sqrt{3}$，根据正切函数即可求得∠POA的度数．

解答 解：①当∠APQ=90°时，如图1，
∵直线y=kx与双曲线y=$\frac{k}{x}$（k＞0）交于点P和Q，
∴解$\left\{\begin{array}{l}{y=kx}\\{y=\frac{k}{x}}\end{array}\right.$得$\left\{\begin{array}{l}{x=1}\\{y=k}\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l}{x=-1}\\{y=-k}\end{array}\right.$，
∴P（1，k），Q（-1，-k），
∴OP=$\sqrt{1+{k}^{2}}$，
∵cos∠POA=$\frac{1}{\sqrt{1+{k}^{2}}}$=$\frac{\sqrt{1+{k}^{2}}}{2k}$，
解得，k=1，
∴cos∠POA=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，
∴∠POA=45°；
②当∠PAQ=90°时，如图2，
作PC⊥OA于C，QD⊥x轴于D，
∵∠PAO+∠QAD=90°，∠APC+∠PAC=90°，
∴∠QAD=∠APC，
∴△APC∽△QAD，
∴$\frac{PC}{AD}$=$\frac{AC}{DQ}$，
∵P（1，k），Q（-1，-k），
∴$\frac{k}{2k+1}$=$\frac{2k-1}{k}$，
解得k=$\frac{\sqrt{3}}{3}$
∴P（1，$\frac{\sqrt{3}}{3}$），
∴tan∠POA=$\frac{PC}{OC}$=$\frac{\sqrt{3}}{3}$，
∴∠POA=30°．

点评 本题考查了反比例函数和一次函数的交点问题，三角形相似的判定和性质，直角三角函数等，分类讨论是解题的关键．