【题目】如图,在中,,为边的中点,为等边三角形.
(1)求证:;
(2)若,在边上找一点,使得最小,并求出这个最小值.
【答案】(1)证明见解析;(2)的最小值为3.
【解析】
(1)根据直角三角形的性质可得:,然后根据等边三角形的性质可得:,从而得出,然后利用SAS即可证出:.
(2)作点关于直线的对称点,连接交于点,根据两点之间线段最短,此时最小,为的长,则最小,为. 则点H即为所求,然后根据等边三角形的判定可证出为等边三角形,从而得出是直角三角形,最后根据勾股定理,即可求出的最小值.
(1)证明:在中,,为边的中点,
∴.
∵为等边三角形,
∴.
∴.
∴.
在△ADE和△CDB中
∴
(2)如图,作点关于直线的对称点,连接交于点,
根据两点之间线段最短,此时最小,为的长,
则最小,为. 则点H即为所求.
在中,,
∴,则.
∴∠∠EAC=60°
∴为等边三角形
∴
∴是直角三角形
∴.
∴的最小值为3
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【题目】如图所示,直线交轴于点,交轴于点,且、满足.
(1)如图1,请求出、的值以及的度数;
(2)如图1,若点为的中点,点为轴正半轴上一动点,连接,过作交轴于点,当点在轴正半轴上运动的过程中,的值是否发生改变?如发生改变,求出变化范围;若不改变,求该式子的值。
(3)如图2,若点为轴负半轴上一点,连接,过点作于点,交于点,请连接并求出的度数.
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【题目】如图 1,在矩形 ABCD 中,动点 E 从点 B 出发,沿 B→C→D→A 方向运动至点 A 处停止,设点 E 运动的路程为 x,△ABE 的面积为 y,如果 y 关于 x 的函数图象如图 2 所示,则当 x=10 时,点 E应运动到( )
A.A 处B.B 处C.C 处D.D 处
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【题目】为了了解市民“获取新闻的最主要途径”,某市记者开展了一次抽样调查,根据调查结果绘制了如图所示尚不完整的统计图.
根据图中信息解答下列问题:
(1)这次接受调查的市民总人数是________;
(2)扇形统计图中,“电视”所在扇形的圆心角的度数是________;
(3)请补全条形统计图;
(4)若该市约有80万人,请你估计其中将“电脑上网和手机上网”作为“获取新闻的最主要途径”的总人数.
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【题目】矩形ABCD中,AB=3,BC=4.点P在线段AB或线段AD上,点Q中线段BC上,沿直线PQ将矩形折叠,点B的对应点是点E.
(1)如图1,点P、点E在线段AD上,点Q在线段BC上,连接BP、EQ.
①求证:四边形PBQE是菱形.
②四边形PBQE是菱形时,AP的取值范围是 .
(2)如图2,点P在线段AB上,点Q在线段AD上,点E在线段AD上,若AE=,求折痕PQ的长.
(3)点P在线段AB,AP=2,点Q在线段BC上,连AE、CE.请直接写出四边形AECD的面积的最小值是 .
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【题目】已知,如图1:△ABC中,∠B、∠C的平分线相交于点O,过点O作EF∥BC交AB、AC于E、F
(1)直接写出图1中所有的等腰三角形.指出EF与BE、CF间有怎样的数量关系?
(2)在(1)的条件下,若AB=15,AC=10,求△AEF的周长;
(3)如图2,若△ABC中,∠B的平分线与三角形外角∠ACG的平分线CO交于点O,过O点作OE∥BC交AB于E,交AC于F,请问(1)中EF与BE、CF间的关系还是否存在,若存在,说明理由:若不存在,写出三者新的数量关系,并说明理由;
(4)如图3,∠ABC、∠ACB的外角平分线的延长线相交于点O,请直接写出EF,BE,CF,MN之间的数量关系.不需证明.
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