Question

【题目】如图，将等腰△ABC绕顶点B逆时针方向旋转40°得到△A1B1C1 ， AB与A1C1相交于点D，A1C1、BC1与AC分别交于点E、F．
（1）求证：△BCF≌△BA1D；
（2）当∠C=40°时，请你证明四边形A1BCE是菱形．

Answer 1

【答案】
（1）解：∵△ABC是等腰三角形，

∴AB=BC，∠A=∠C，

∵将等腰△ABC绕顶点B逆时针方向旋转40度到△A1BC1的位置，

∴A1B=AB=BC，∠A=∠A1=∠C，∠A1BD=∠CBC1，

在△BCF与△BA1D中，

，

∴△BCF≌△BA1D（ASA）；

（2）解：∵∠C=40°，△ABC是等腰三角形，

∴∠A=∠C1=∠C=40°，

∴∠C1=∠CBF=40°，∠A=∠A1BD=40°，

∴A1E∥BC，A1B∥CE，

∴四边形A1BCE是平行四边形，

∵A1B=BC，

∴四边形A1BCE是菱形．

【解析】（1）根据旋转的性质，得出A1B=AB=BC，∠A=∠A1=∠C，∠A1BD=∠CBC1 ， 再根据ASA即可判定△BCF≌△BA1D；（2）根据∠C=40°，△ABC是等腰三角形，即可得出∠A=∠C1=∠C=40°，进而得到∠C1=∠CBF，∠A=∠A1BD，由此可判定A1E∥BC，A1B∥CE，进而得到四边形A1BCE是平行四边形，最后根据A1B=BC，即可判定四边形A1BCE是菱形．
【考点精析】本题主要考查了等腰三角形的性质和菱形的判定方法的相关知识点，需要掌握等腰三角形的两个底角相等（简称：等边对等角）；任意一个四边形，四边相等成菱形；四边形的对角线，垂直互分是菱形．已知平行四边形，邻边相等叫菱形；两对角线若垂直，顺理成章为菱形才能正确解答此题．