Question

如图，正方形ABCD（四个角都是直角，四条边都相等）的边长为4，点E、F分别在边BC、CD上，且CF=1．
（1）若E为BC的中点，请你证明△AEF是直角三角形；
（2）若∠AFE=90°，求CE的值．

Answer 1

分析：（1）据条件画出图形，利用勾股定理及勾股定理的逆定理解答即可；
（2）利用相似三角形的判定与性质即可解决问题．

解答：解：（1）如图1，
∵四边形ABCD是正方形，
∴∠B=∠C=∠D=90°，
∵E为BC的中点，
∴BE=CE=2，
由勾股定理得，
AE²=AB²+BE²=4²+2²=20，
EF²=CE²+CF²=2²+1²=5，
AF²=AD²+DF²=4²+3²=25，
又∵AE²+EF²=AF²，
∴△AEF是直角三角形；

（2）如图2，
由①知，AD=4，CF=1，DF=3，∠C=∠D=90°，
∵∠AFE=90°，
∴∠AFD+∠DAF=90°，∠AFD+∠EFC=90°，
∴∠DAF=∠EFC，
∴△ADF∽△FCE，
∴

AD

CF

=

DF

CE

，
即

4

1

=

3

CE

，
解得CE=

3

4

．

点评：此题主要考查正方形的性质、勾股定理、勾股定理的逆定理以及相似三角形的判定与性质．