Question

如图所示，过点F(0，1)的直线y= kx+b与抛物线 y=交于M(x_l, y₁)和 N(x₂,y₂)两点(其中 x_l<0，x₂>0).     
(1)求b的值.    
(2)求x₁. x₂ 的值.    
(3)分别过M、N作直线l：y= -1 的垂线，委足分别是M₁、N₁, 判断△M₁FN₁ 的形状，并证明你的结论.    
(4)对于过点F₁ 的任意直线，是否存在一条定直线m，使m与以 MN为直径的圆相切.如果有，请写出这条直线 m的解析式；如果没有，请说明理由.

Answer 1

解：(1)b=1.  
(2 )
解方程组消元得依据 x_l x₂ =-4.
    
(3)△M₁ FN₁ 是直角三角形理由如：    
由题知 M₁ 的横坐标为x₁，N₁的横坐标为x₂
设M₁N₁ 交y轴于F₁,
则F₁M₁·F₁N₁ =-x_l·x₂= 4，而FF₁ = 2，
所以 F₁M₁·F_lN_l=F_l F₂，
另有∠M₁F₁F = ∠FF₁N₁= 90°，
易证Rt△M₁FF₁∽Rt△FN₁F₁
得M₁FF₁= FN₁F₁
故∠M₁FN₁= ∠M₁FF₁+∠F₁FN₁=∠PN₁F₁ +∠F₁FN₁ =90°.
所以△M₁FN₁是直角三角形.   
 (4)存在，该直线为y= -1，理由如下：    
直线y= -1 即为直线M_IN, ·    
如图，设N点横坐标为m·

得NN₁=NF同理MM₁ =MF.
那么MN= MM₁+NN₁,
作梯形MM₁N₁N 的中位线PQ
由中位线性质知.
即圆心到直线 y= -1 的距离等于圆的半径.
所以 y=-1总与该圆相切.