Question

已知△ABC，∠BAC=90°，AB=AC=4，BD是AC变上的中线，分别以AC、AB所在直线为x轴、y轴建立直角坐标系（如图）
（1）求△ABC的面积；
（2）求直线BD的函数关系式；
（3）直线BD上是否存在点M，使△AMC为等腰三角形？若存在，写出点M的坐标；若不存在，说明理由．

Answer 1

（1）∵△ABC中∠BAC=90°，AB=AC=4，
∴S_△ABC=

1

2

AB•AC=

1

2

×4×4=8；

（2）∵AB=AC=4，BD是AC边上的中线，
∴AD=DC=2．
∴B（0，4），D（2，0）．
设直线BD的函数关系式：y=kx+b，
得

b=4 2k+b=0

，解得

b=4 k=-2

．
∴直线BD的函数关系式：y=-2x+4；
（3）设M（a，-2a+4）．
分三种情况：
①AM=AC．
∵AM²=a²+（-2a+4）²，AC²=16．
∴a²+（-2a+4）²=16．解得a₁=0，a₂=

16

5

．
∴M₁（0，4），M₂（

16

5

，-

12

5

）；
②MC=AC．
∵MC²=（4-a）²+（-2a+4）²，AC²=16．
∴（4-a）²+（-2a+4）²=16．
解得a₃=4，a₄=

4

5

，
∴M₃（4，-4），M₄（

4

5

，

12

5

）；
③AM=MC．
∵AM²=a²+（-2a+4）²，MC²=（4-a）²+（-2a+4）²，
∴a²+（-2a+4）²=（4-a）²+（-2a+4）²，
解得a₅=2．
∴M₅（2，0），这时M₅点在AC上，构不成三角形，舍去．
综上所述，在直线BD上存在四点，即M₁（0，4），），M₂（

16

5

，-

12

5

），M₃（4，-4），M₄（

4

5

，

12

5

）符合题意．