Question

如图（1），以梯形OABC的顶点O为原点，底边OA所在的直线为轴建立直角坐标系．梯形其它三个顶点坐标分别为：A（14，0），B（11，4），C（3，4），点E以每秒2个单位的速度从O点出发沿射线OA向A点运动，同时点F以每秒3个单位的速度，从O点出发沿折线OCB向B运动，设运动时间为t．
（1）当t=4秒时，判断四边形COEB是什么样的四边形？
（2）当t为何值时，四边形COEF是直角梯形？
（3）在运动过程中，四边形COEF能否成为一个菱形？若能，请求出t的值；若不能，请简要说明理由，并改变E、F两点中任一个点的运动速度，使E、F运动到某时刻时，四边形COEF是菱形，并写出改变后的速度及t的值

Answer 1

分析：（1）作CG⊥OA于G，BH⊥OA于H，由A（14，0）B（11，4）C（3，4）可以求出AH=3，BC=8，OG=3，CG=BH=4，及CB∥OA，当t=4时，OE=8，可以得到，BC=OE，从而可以得出结论．
（2）由图2可以知道，当四边形COEF是直角梯形时，EF=GE，就有3t-5=2t-3，从而可以求出t的值．
（3）通过计算，可以知道要使四边形COEF是菱形，就有3t=10，2t=5，求出t值不相等，故不存在菱形，当把F的速度改为4后，就可以计算出成为菱形的时间．

解答：解：（1）作CG⊥OA于G，BH⊥OA于H，且B（11，4），C（3，4），
∴∠CGO=∠BHA=90°，OG=3，CG=4，AH=3，BH=4，BC=8，
∴△CGO≌△BHA，
∴OC=AB，在Rt△OGC中由勾股定理，得
OC²=OG²+CG^2，
∴OC²=3²+4²，
∴OC=5，
∴AB=5，
∵点E以每秒2个单位的速度从O点出发沿射线OA向A点运动，
∴当运动时间为4时，OE=8，
∴OE=BC，
∵BC∥OA，
∴四边形COEB是平行四边形．

（2）如图2，设t秒时四边形COEF是直角梯形，
∴OC+CF=3t，OE=2t，CF=GE，
∴3t-OC=2t-OG，
∴3t-5=2t-3，解得：
t=2．

（3）假设运动t秒后，四边形COEF是菱形，
∴CF=OE=CO=5，
∵OC+CF=3t=10，0E=2t=5，
∴t=

10

3

而t=

5

2

，
∵

10

3

≠

5

2

∴不存在符合条件的t．
当F的速度每秒4个单位的速度，从O点出发沿折线OCB向B运动，而E点的速度不变，F运动到某时刻时，四边形COEF是菱形．
∴由题意，得4t-5=5，
∴t=

5

2

，
∴OE=2×

5

2

=5，
∴CF=CO=EO=5，
∴当t=

5

2

时，四边形COEF是菱形．
改变后F的速度为：10÷

5

2

=4

点评：本题考查了等腰梯形的判定及性质，菱形的判定及性质，直角梯形的性质，勾股定理的运用，动点问题的运用．