Question

如图，在△ABC中，AB=AC，
（1）若P是BC边上的中点，连结AP，求证：BP•CP=AB²-AP²；
（2）若P是BC边上任意一点，上面的结论还成立吗？若成立，请证明，若不成立，请说明理由；
（3）若P是BC边延长线上一点，线段AB、AP、BP、CP之间有什么样的关系？请证明你的结论？

Answer 1

分析：（1）根据AB²=AP²+BP²，移项后，结合BP=CP，可得出结论；
（2）过A作AM⊥BC于M，AB²=AM²+BM²，AP²=AM²+MP²，利用平方差公式，结合图形，即可得出结论；
（3）过A作AM⊥BC于M，AB²=AM²+BM²，AP²=AM²+MP²，利用平方差公式，结合图形，即可得出结论；

解答：解：（1）在RT△ABP中，AB²=AP²+BP²，AB²-AP²=BP²=BP•CP；

（2）如图所示：

过A作AM⊥BC于M，AB²=AM²+BM²，AP²=AM²+MP²，
则AB²-AP²=BM²-MP²=（BM+MP）（BM-MP）=CP（CM-MP）=BP•CP；

（3）如图所示：

过A作AM⊥BC于M，AB²=AM²+BM²，AP²=AM²+MP²
AP²-AB²=MP²-BM²=（MP+BM）（MP-BM）=BP（MP-CM）=BP•CP，
∴AP²-AB²=BP•CP．

点评：本题考查了勾股定理的知识，解答本题的关键是熟练掌握勾股定理及平方差公式的形式．