Question

如图1，在Rt△AOB中，∠AOB=90°，AO=4

3

，∠ABO=30°．动点P在线段AB上从点A向终点B以每秒

3

个单位的速度运动，设运动时间为t秒．在直线OB 上取两点M、N作等边△PMN．
（1）求当等边△PMN的顶点M运动到与点O重合时t的值．
（2）求等边△PMN的边长（用t的代数式表示）；
（3）如果取OB的中点D，以OD为边在Rt△AOB 内部作如图2所示的矩形ODCE，点C在线段AB上．设等边△PMN和矩形ODCE重叠部分的面积为S，请求出当0≤t≤2秒时S与t的函数关系式，并求出S的最大值．
（4）在（3）中，设PN与EC的交点为R，是否存在点R，使△ODR是等腰三角形？若存在，求出对应的t的值；若不存在，请说明理由．

Answer 1

分析：（1）利用直角三角形中30°所对的边是斜边的一半即可求出AP，进而求出t的值；
（2）利用△BPH∽△BAO，得出PH的长，再利用解直角三角形求出PN的长；
（3）根据当0≤t≤1时以及当t=1时和当t=2时，分别求出S的值；
（4）根据当D为顶点，OD=OR₁=6时，当R₂为顶点，OR₂=DR₂时，③当O为等腰△的顶点时，分别得出即可．

解答：解：（1）∵△PMN是等边三角形，
∴∠P₁M₁N₁=60°；
∵在Rt△AOB中，
∠AOB=90°，∠ABO=30°，
∴∠AP₁0=90°，
在Rt△AP₁O中，AP₁=

1

2

AO=2

3

，
∴t=

2 3

3

，即t=2；

（2）∵△BPH∽△BAO，
∴

PH

4 3

=

8 3 - 3 t

8 3

，
∴PH=

8 3 - 3 t

2

，
∵cos30°=

PH

PN

，
∴PN=

PH

cos30°

=

8 3 - 3 t 2

3 2

=8-t，

（3）当0≤t≤1时，S₁=S_{四边形EONG}，
作GH⊥OB于H，如图3，
∵∠GNH=60°，GH=2

3

，
∴HN=2，∵PN=NB=8-t，
∴ON=OB-NB，
∴ON=12-（8-t）=4+t，
∴OH=4+t-2=2+t，
S₁=

1

2

（2+t+4+t）×2

3

=2

3

t+6

3

，
∵2

3

＞0，
∴S随t增大而增大，
当t=1时，S_最大=8

3

，
当1＜t＜2时，如图4，S₂=S_{五边形IFONG}，
作GH⊥OB于H，
∵AP₂=

3

t
∴AF=2

3

t，
∴OF=4

3

-2

3

t，
∴EF=2

3

-（4

3

-2

3

t）
=2

3

t-2

3

，
∴EI=2t-2，
∴S₂=S_梯形EONG-S_△EFI
=2

3

t+6

3

-

1

2

（2t-2）×（2

3

t-2

3

）
=-2

3

t²+6

3

t+4

3

，
∵-2

3

＜0，
∴当t=-

b

2a

=

3

2

时
S_2最大=

17 3

2

，
当t=2时，如图5，
MP=MN=6，
N与D重合，
S₃=S_梯形IMNG，
=

3

4

×36-

3

4

×4，
=8

3

，
∴S=

2 3 t+6 3   (0≤t≤1) -2 3 t2+6 3 t+4 3 (1＜t＜2) 8 3         (t=2)

，
S_最大=

17 3

2

，

（4）∵△ODR是等腰三角形，
①当D为顶点，OD=OR₁=6时，
DR₁=6-2

2

＞2（不合题意舍去），
当D为顶点时，R₁不存在，
此时R₁不存在，使△ODR是等腰三角形，
②当R₂为顶点，OR₂=DR₂时，
R₂在EC的中点处，
∵AO=4

3

，∠B=30°，
∴BO=12，
∵D为OB中点，
∴DO=EC=6，
∴ER₂=3，
∵OB=12，∠B=30°，
∴OP₂=6，
∴R₂P₂=3，
∴ER₂=P₂R₂=3，
∴CP₂=3

3

，
∴AP₂=4

3

-3

3

=

3

，
t₂=

3

3

=1，
③当O为等腰三角形顶角的顶点时，
CR₃=6-2

6

，
CP₃=

6-2 6

2

×

3

×2=6

3

-6

2

，
AP₃=4

3

-（6

3

-6

2

），
=6

2

-2

3

，
∴t₃=

6 2 -2 3

3

=2

6

-2＞2（不合题意舍去）．
综上所述：t=1时，△ODR是等腰三角形．

点评：此题主要考查了二次函数的综合应用以及相似三角形的性质等知识，（3）（4）小题中，都用到了分类讨论的数学思想，难点在于考虑问题要全面，做到不重不漏．