Question

16．在平面直角坐标中，边长为4的正方形OABC的两顶点A、C分别在y轴、x轴的正半轴上，点O在原点．现将正方形OABC绕O点顺时针旋转，旋转角为θ，当A点第一次落在直线y=x上时停止旋转．旋转过程中，AB边交直线y=x于点M，BC边交x轴于点N（如图）．
（1）求边AB在旋转过程中所扫过的面积；
（2）设△MBN的周长为p，在旋转正方形OABC的过程中，p值是否有变化？请证明你的结论；
（3）当旋转角θ为多少度时，△OMN的面积最小，并求出此时△BMN内切圆的半径．

Answer 1

分析 （1）S_阴=S_△OAB+S_扇形OBB′-S_△OAA′-S_扇形OAA′，根据公式即可求解．
（2）延长BA交y轴于E点，可以证明：△OAE≌△OCN，△OME≌△OMN证得：OE=ON，AE=CN，MN=ME=AM+AE=AM+CN．从而求得：P=MN+BN+BM=AM+CN+BN+BM=AB+BC=8．即可求解．
（3）设MN=m，AM=t．由（2）知，在Rt△MNB中，MN²=MB²+NB²，利用 MN+MB+NB=8，得出m²=（4-t）²+（8-m-4+t）²，即可得出m的取值范围，即可得出△OMN的面积最小值，再利用直角三角形内切圆半径求法得出答案即可．

解答 解：（1）如图1，

S_阴=S_△OAB+S_扇形OBB′-S_△OA'B′-S_扇形OAA′
=S_扇形OBB′-S_扇形OAA′
=$\frac{45}{360}π•{（4\sqrt{2}）^2}-\frac{45}{360}π•{（4）^2}$
=2π．

（2）p值无变化．
证明：延长BA交y轴于E点．（如图2）

在△OAE与△OCN中，
$\left\{\begin{array}{l}∠AOE=∠CON\\∠OAE=∠OCN={90°}\\ OA=OC\end{array}\right.$，
∴△OAE≌△OCN，
∴OE=ON，AE=CN．
在△OME与△OMN中，
$\left\{\begin{array}{l}OE=ON\\∠MOE=∠MON={45°}\\ OM=OM\end{array}\right.$，
∴△OME≌△OMN．
∴MN=ME=AM+AE，
∴MN=AM+CN，
∴p=MN+BN+BM=AM+CN+BN+BM=AB+BC=8．
∴在旋转正方形OABC的过程中，p值无变化．

（3）当θ=22.5°时，△OMN的面积最小，
因为S_△OMN=S_△MOE=$\frac{1}{2}$OA•ME=$\frac{1}{2}$ME=$\frac{1}{2}$MN，
设MN=m，AM=t．由（2）知，在Rt△MNB中，MN²=MB²+NB²，
因为  MN+MB+NB=8，
所以m²=（4-t）²+（8-m-4+t）²，
得：t²-mt+16-4m=0，
因为△=m²-4（16-4m）≥0，
所以m≤-8-8$\sqrt{2}$（舍去）或m≥-8+8$\sqrt{2}$，
所以S_△OMN的最小值为：$\frac{1}{2}$×（-8+8$\sqrt{2}$）=4$\sqrt{2}$-4．
此时△=0，
∴t=$\frac{m}{2}$=$\frac{ME}{2}$，
∴A为ME的中点．
又因为OA⊥ME，所以OA是∠MOE的平分线，所以θ=22.5°．
在Rt△MNB中，BM=4-t=8-4$\sqrt{2}$，BN=8-MN-BM=8-4$\sqrt{2}$，MN=8$\sqrt{2}$-8，
设Rt△BMN的内切圆半径为r，
所以r=$\frac{BM+BN-MN}{2}$=12-8$\sqrt{2}$．

点评 此题主要考查了一次函数的综合应用以及根的判别式、全等三角形的判定与性质、扇形面积求法等知识，利用图形旋转的变化规律得出对应边之间关系是解题关键．