Question

9．如图，AB是⊙O的直径，C、D为⊙O上不同于A、B两点，并且C、D位于直径AB的两侧，CA=CD
（1）如图1，求证：∠ABD=2∠BDC；
（2）如图2，AB、CD交于点E，过点E作EF⊥DB于点F，延长FE交AC于点M，求证：CE=CM；
（3）在（2）的条件下，若tan∠CDB=$\frac{1}{2}$，EB=5，求线段CE的长．

Answer 1

分析 （1）如图1中，连接OC、OD．由△OCA≌△OCD∠ACO=∠DCO，想办法证明OC∥DB，可得∠ABD=∠BOC，由此即可解决问题．
（2）如图2中，连接AD．只要证明EM∥AD，即可推出∠CME=∠CAD，∠CEM=∠CDA，由CA=CD，推出∠CAD=∠CDA，即可证明∠CME=∠CEM，推出CM=CE．
（3）如图3中，连接AD、BC，延长CO交AD于H．则CH⊥AD，AH=DH．易知∠CDB=∠CAO=∠ACH，推出tan∠CDB=tan∠CAO=tan∠ACH=$\frac{1}{2}$，设AB=2$\sqrt{5}$a，则BC=2a，AC=4a，AH=$\frac{4\sqrt{5}}{5}$a，CH=$\frac{8\sqrt{5}}{5}$a，推出OH=CH-OC=$\frac{3\sqrt{5}}{5}$a，推出tan∠OAH=$\frac{OH}{AH}$=$\frac{\frac{3\sqrt{5}}{5}a}{\frac{4\sqrt{5}}{5}a}$=$\frac{3}{4}$，由EF∥AD，推出∠BEF=∠OAH，推出tan∠BEF=$\frac{3}{4}$，由EB=5，推出BF=3，EF=4，由tan∠EDF=$\frac{1}{2}$=$\frac{EF}{DF}$，推出DF=8，DE=4$\sqrt{5}$，BD=11，推出AD=$\frac{4}{3}$×11=$\frac{44}{3}$，AB=$\frac{5}{3}$×11=$\frac{55}{3}$，推出AE=AB-EB=$\frac{40}{3}$，由△ECB∽△EAD，可得$\frac{EC}{EA}$=$\frac{EB}{ED}$，由此即可解决问题．

解答 （1）证明：如图1中，连接OC、OD．

在△OCA和△OCD中，
$\left\{\begin{array}{l}{OC=OC}\\{CA=CD}\\{OA=OD}\end{array}\right.$，
∴△OCA≌△OCD，
∴∠ACO=∠DCO，
∵OA=OC，
∴∠A=∠ACO，
∵∠A=∠CDB，
∴∠CDB=∠OCD，
∴OC∥DB，
∠ABD=∠BOC，
∵∠BOC=2∠CDB，
∴∠ABD=2∠CDB．

（2）证明：如图2中，连接AD．

∵MF⊥BD，
∴∠EFB=90°，
∵AB是直径，
∴∠ADB=90°，
∴∠EFB=∠ADB，
∴EM∥AD，
∴∠CME=∠CAD，∠CEM=∠CDA，
∵CA=CD，
∴∠CAD=∠CDA，
∴∠CME=∠CEM，
∴CM=CE．

（3）解：如图3中，连接AD、BC，延长CO交AD于H．则CH⊥AD，AH=DH．

易知∠CDB=∠CAO=∠ACH，
∴tan∠CDB=tan∠CAO=tan∠ACH=$\frac{1}{2}$，设AB=2$\sqrt{5}$a，
则BC=2a，AC=4a，AH=$\frac{4\sqrt{5}}{5}$a，CH=$\frac{8\sqrt{5}}{5}$a，
∴OH=CH-OC=$\frac{3\sqrt{5}}{5}$a，
∴tan∠OAH=$\frac{OH}{AH}$=$\frac{\frac{3\sqrt{5}}{5}a}{\frac{4\sqrt{5}}{5}a}$=$\frac{3}{4}$，
∵EF∥AD，
∴∠BEF=∠OAH，
∴tan∠BEF=$\frac{3}{4}$，∵EB=5，
∴BF=3，EF=4，
∵tan∠EDF=$\frac{1}{2}$=$\frac{EF}{DF}$，
∴DF=8，DE=4$\sqrt{5}$，BD=11，
∴AD=$\frac{4}{3}$×11=$\frac{44}{3}$，AB=$\frac{5}{3}$×11=$\frac{55}{3}$，
∴AE=AB-EB=$\frac{40}{3}$，
∵∠ECB=∠EAD，∠EBC=∠EDA，
∴△ECB∽△EAD，
∴$\frac{EC}{EA}$=$\frac{EB}{ED}$，
∴$\frac{EC}{\frac{40}{3}}$=$\frac{5}{4\sqrt{5}}$，
∴EC=$\frac{10\sqrt{5}}{3}$．

点评 本题考查圆综合题、全等三角形的判定和性质、锐角三角函数、勾股定理、相似三角形的判定和性质、平行线的判定和性质、等腰三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题，学会利用参数解决问题，第三个问题的突破点是求出tan∠OAH=$\frac{3}{4}$，题目比较难，属于中考压轴题．