Question

【题目】已知tan∠MON=2，矩形ABCD的边AB在射线OM上，AD=2，AB=m，CF⊥ON，垂足为点F.

（1）如图（1），作AE⊥ON，垂足为点E. 当m=2时，求线段EF的长度；

图（1）

（2）如图（2），联结OC，当m=2，且CD平分∠FCO时，求∠COF的正弦值；

图（2）

（3）如图（3），当△AFD与△CDF相似时，求m的值.

图（3）

Answer 1

【答案】（1）；（2）；（3）1或2或.

【解析】

（1）如图1，延长FC交OM于点G，证∠BCG=∠MON，在Rt△AOE中，设OE=a，可求得OA，OG，OF的长，则；

（2）如图2，延长FC交OM于点G，由（1）得，推出，在Rt△COB中，由勾股定理求出a的值，得出OF的长，可求出cos∠COF的值，进一步推出sin∠COF的值；
（3）需分情况讨论：当D在∠MON内部时，△FDA∽△FDC时，此时CD=AD=2，m=2；当△FDA∽△CDF时，延长CD交ON于点Q，过F作FP⊥CQ于P，可利用三角函数求出m的值；当D在∠MON外部时，可利用相似的性质等求出m的值．

解：解：（1）如图1，

延长交于点，

，，

，

则，

，，

在中，

设，由，

可得，则，，

；

（2）如图2，

延长交于点，由（1）得，

平分，

，

，

，，

，

，

在中，由，

得，

解得（舍去），，

，

，

；

（3）当在内部时，

①如图，

时，此时，

；

②当时，

如图，

延长交于点，过作于，

则，

，

，

，

，

，

，

，

，

；

当在外部时，，，

，

，，

如图，

时，此时，

，

，

、重合，

延长交于，

，，，

；

如图，

时，设，

延长交于，过作于，

，

，

，

，，，，，

，

，

，

，

，

解得，，（舍去），

，矛盾，

综上所述：或，或．