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11.如图,已知△ABC是等边三角形,D、E分别在边BC、AC上,AB=6,BD=2DC,且CD=CE,连结DE并延长至点F,使EF=AE,连结AF、BE和CF.
(1)求△EDC的面积.
(2)判断四边形ABDF是怎样的四边形,并说明理由.
(3)求四边形ABEF的面积.

分析 (1)首先利用等边三角形的性质易得AB=BC=CA=6,∠ACB=60°,△EDC为等边三角形,过E作EG⊥DC于点G,易得∠GEC=30°,得GC=$\frac{1}{2}EC$=1,利用勾股定理可得EG,利用三角形的面积公式得结果;
(2)由∠AEF=∠CED=60°,EF=EA,易得△AEF为等边三角形,利用内错角相等,两直线平行易得AF∥BD,由AF=AE=AC-CE=BC-CD=BD,利用平行四边形的判定定理得出结论;
(3)过点A作AH⊥BC于H,易得∠BAH=30°,利用含30°直角三角形的性质,易得BH=$\frac{1}{2}AB=3$,利用勾股定理可得AH,代入S四边形ABEF=S四边形ABDF-S△BDE
=BD•AH-$\frac{1}{2}•BD•EG$,得出结论.

解答 解:(1)在等边△ABC中,
AB=BC=CA=6,∠ACB=60°,
∵BD=2DC,CD=CE,
∴BD=4,CD=CE=2,
∴EDC为等边三角形,
过E作EG⊥DC于点G,
在Rt△EGC中,
∠ECG=60°,
∴∠GEC=30°,
∴$GC=\frac{1}{2}EC=1$,
∴$EG=\sqrt{E{C}^{2}-G{C}^{2}}$=$\sqrt{3}$
∴S△EDC=$\frac{1}{2}•DC•EG$=$\frac{1}{2}×2×\sqrt{3}$=$\sqrt{3}$;

(2)四边形ABDF是平行四边形.
理由如下:
∵∠AEF=∠CED=60°,EF=EA,
∴△AEF为等边三角形,
∴∠AFE=∠FDC=60°,
∴AF∥BD,
∵AF=AE=AC-CE=BC-CD=BD,
∴AF∥BD且AF=BD,
∴四边形ABDF为平行四边形;

(3)过点A作AH⊥BC于H,
在Rt△ABH中,
∠BAH=90°-∠ABH=30°,
∴BH=$\frac{1}{2}$AB=3,AH=$\sqrt{A{B}^{2}-B{H}^{2}}$=$\sqrt{{6}^{2}-{3}^{2}}$=3$\sqrt{3}$,
∴S四边形ABEF=S四边形ABDF-S△BDE
=BD•AH-$\frac{1}{2}•BD•EG$
=$4×3\sqrt{3}-\frac{1}{2}×4×\sqrt{3}$,
=10$\sqrt{3}$.

点评 本题主要考查了等边三角形的性质及判定,平行四边形的判定,含30°直角三角形的性质,综合运用各种判定定理,作出适当的辅助线是解答此题的关键.

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