分析 (1)设AC=b,如图1,在Rt△ADC中,∵∠ADC=30°,根据含30度的直角三角形三边的关系得AD=2b,CD=$\sqrt{3}$AC=$\sqrt{3}$b,在Rt△ADC中,利用勾股定理计算出AB2=(8+4$\sqrt{3}$)b2,再利用三角形函数的定义得到sinB=sin15°=$\frac{AC}{AB}$,cosB=cos15°=$\frac{BC}{AB}$,则2sin15°cos15°=$\frac{2(2+\sqrt{3}){b}^{2}}{(8+4\sqrt{3}){b}^{2}}$=$\frac{1}{2}$,于是有sin30°=2sin15°cos15°;
(2)如图2,△ABC中,∠C=90°,∠B=α,D是BC上一点,BD=AD,则有∠ADC=2α设AC=b,CD=a,AB=c,则AD=$\sqrt{{a}^{2}+{b}^{2}}$,则BD=$\sqrt{{a}^{2}+{b}^{2}}$,与(1)的证明过程类似.
解答 证明:(1)设AC=b,如图1,
在Rt△ADC中,∵∠ADC=30°,
∴AD=2b,
∴CD=$\sqrt{3}$AC=$\sqrt{3}$b,
在Rt△ADC中,∵AC=b,BC=2b+$\sqrt{3}$b=(2+$\sqrt{3}$)b,
∴AB2=b2+(2+$\sqrt{3}$)2b2=(8+4$\sqrt{3}$)b2,
∴sinB=sin15°=$\frac{AC}{AB}$,cosB=cos15°=$\frac{BC}{AB}$,
∴2sin15°cos15°=2•$\frac{b}{AB}$•$\frac{(2+\sqrt{3})b}{AB}$=$\frac{2(2+\sqrt{3}){b}^{2}}{(8+4\sqrt{3}){b}^{2}}$=$\frac{1}{2}$,
而sin30°=$\frac{1}{2}$,
∴sin30°=2sin15°cos15°
(2)如图2,△ABC中,∠C=90°,∠B=α,D是BC上一点,BD=AD,则有∠ADC=2α,
设AC=b,CD=a,AB=c,则AD=$\sqrt{{a}^{2}+{b}^{2}}$,则BD=$\sqrt{{a}^{2}+{b}^{2}}$,
在Rt△ADC中,sin2α=$\frac{b}{\sqrt{{a}^{2}+{b}^{2}}}$,
在Rt△ABC中,sinB=sinα=$\frac{b}{c}$,cosB=cosα=$\frac{\sqrt{{a}^{2}+{b}^{2}}+a}{c}$,
∴2sinαcosα=2•$\frac{b}{c}$•$\frac{\sqrt{{a}^{2}+{b}^{2}}+a}{c}$=$\frac{2b(\sqrt{{a}^{2}+{b}^{2}}+a)}{{c}^{2}}$,
而c2=b2+($\sqrt{{a}^{2}+{b}^{2}}+a$)2=2(a2+b2+a•$\sqrt{{a}^{2}+{b}^{2}}$)=2$\sqrt{{a}^{2}+{b}^{2}}$($\sqrt{{a}^{2}+{b}^{2}}$+a),
∴2sinαcosα=$\frac{2b(\sqrt{{a}^{2}+{b}^{2}}+a)}{2\sqrt{{a}^{2}+{b}^{2}}(\sqrt{{a}^{2}+{b}^{2}}+a)}$=$\frac{b}{\sqrt{{a}^{2}+{b}^{2}}}$,
∴sin2α=2sinαcosα.
点评 本题考查了解直角三角形:在直角三角形中,由已知元素求未知元素的过程就是解直角三角形.熟练运用三角函数的定义.
科目:初中数学 来源: 题型:选择题
A. | ①②④⑤ | B. | ②③④⑤ | C. | ②④⑤ | D. | ①③⑤ |
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科目:初中数学 来源: 题型:选择题
A. | (6,6) | B. | ($\frac{7}{2}$,2) | C. | (7,4) | D. | (8,2) |
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科目:初中数学 来源: 题型:解答题
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