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2.如图,AB为半圆O在直径,AD、BC分别切⊙O于A、B两点,CD切⊙O于点E,连接OD、OC,下列结论:①∠DOC=90°,②AD+BC=CD,③S△AOD:S△BOC=AD2:AO2,④OD:OC=DE:EC,⑤OD2=DE•CD,正确的有(  )
A.2个B.3个C.4个D.5个

分析 连接OE,由AD,DC,BC都为圆的切线,根据切线的性质得到三个角为直角,且利用切线长定理得到DE=DA,CE=CB,由CD=DE+EC,等量代换可得出CD=AD+BC,选项②正确;由AD=ED,OD为公共边,利用HL可得出直角三角形ADO与直角三角形EDO全等,可得出∠AOD=∠EOD,同理得到∠EOC=∠BOC,而这四个角之和为平角,可得出∠DOC为直角,选项①正确;由∠DOC与∠DEO都为直角,再由一对公共角相等,利用两对对应角相等的两三角形相似,可得出三角形DEO与三角形DOC相似,由相似得比例可得出OD2=DE•CD,选项⑤正确;由△AOD∽△BOC,可得$\frac{{S}_{△AOD}}{{S}_{△BOC}}$=${(\frac{AD}{OB})}^{2}$=${(\frac{AD}{AO})}^{2}$=$\frac{{AD}^{2}}{{AO}^{2}}$,选项③正确;由△ODE∽△OEC,可得$\frac{OD}{OC}=\frac{DE}{OE}$,选项④错误.

解答 解:连接OE,如图所示:
∵AD与圆O相切,DC与圆O相切,BC与圆O相切,
∴∠DAO=∠DEO=∠OBC=90°,
∴DA=DE,CE=CB,AD∥BC,
∴CD=DE+EC=AD+BC,选项②正确;
在Rt△ADO和Rt△EDO中,$\left\{\begin{array}{l}{OD=OD}\\{DA=DE}\end{array}\right.$,
∴Rt△ADO≌Rt△EDO(HL),
∴∠AOD=∠EOD,
同理Rt△CEO≌Rt△CBO,
∴∠EOC=∠BOC,
又∠AOD+∠DOE+∠EOC+∠COB=180°,
∴2(∠DOE+∠EOC)=180°,即∠DOC=90°,选项①正确;
∴∠DOC=∠DEO=90°,又∠EDO=∠ODC,
∴△EDO∽△ODC,
∴$\frac{OD}{CD}$=$\frac{DE}{OD}$,即OD2=DC•DE,选项⑤正确;
∵∠AOD+∠COB=∠AOD+∠ADO=90°,
∠A=∠B=90°,
∴△AOD∽△BOC,
∴$\frac{{S}_{△AOD}}{{S}_{△BOC}}$=${(\frac{AD}{OB})}^{2}$=${(\frac{AD}{AO})}^{2}$=$\frac{{AD}^{2}}{{AO}^{2}}$,选项③正确;
同理△ODE∽△OEC,
∴$\frac{OD}{OC}=\frac{DE}{OE}$,选项④错误;
故选C.

点评 此题考查了切线的性质,切线长定理,相似三角形的判定与性质,全等三角形的判定与性质,利用了转化的数学思想,熟练掌握定理及性质是解本题的关键.

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