Question

13．如图，已知边长为4的正方形ABCD中，E为AD中点，P为CE中点，F为BP中点，FH⊥BC交BC于H，连接PH．
（1）求HF的长度；
（2）求△BFD的面积．

Answer 1

分析 （1）先过点P作PG⊥BC于G，过点E作EQ⊥BC于Q，则矩形ABQE中，EQ=AB=4，再根据平行线分线段成比例定理，得出PG=$\frac{1}{2}$EQ=2，进而得出FH=$\frac{1}{2}$PG=1；
（2）过点P作PM⊥CD于M，则PM∥ED，根据P为CE中点，E为AD中点，PM=$\frac{1}{2}$DE=1，再根据△BDP的面积=△BCD的面积-△CDP的面积-△BCP的面积，求得△BDP的面积，最后根据F为BP中点，得到△BFD的面积=$\frac{1}{2}$×△BDP的面积，据此进行计算即可．

解答 解：（1）过点P作PG⊥BC于G，过点E作EQ⊥BC于Q，则矩形ABQE中，EQ=AB=4，
∵P为CE中点，EQ∥PG，
∴PG=$\frac{1}{2}$EQ=$\frac{1}{2}$×4=2，
∵FH⊥BC，PG⊥BC，
∴FH∥PG，
又∵F为BP中点，
∴FH=$\frac{1}{2}$PG=$\frac{1}{2}$×2=1；

（2）过点P作PM⊥CD于M，则PM∥ED，
∵P为CE中点，E为AD中点，
∴PM=$\frac{1}{2}$DE=$\frac{1}{2}$×2=1，
∴△CDP的面积=$\frac{1}{2}$×4×1=2，
∵△BCP的面积=$\frac{1}{2}$BC×PG=$\frac{1}{2}$×4×2=4，△BCD的面积=$\frac{1}{2}$BC×CD=$\frac{1}{2}$×4×4=8，
∴△BDP的面积=△BCD的面积-△CDP的面积-△BCP的面积=8-2-4=2，
又∵F为BP中点，
∴△BFD的面积=$\frac{1}{2}$×△BDP的面积=$\frac{1}{2}$×2=1．

点评 本题主要考查了正方形的性质以及平行线分线段成比例定理的综合应用，解决问题的关键作辅助线，构造平行线，运用中点得到线段的长度．解题时注意：平行于三角形一边的直线截其他两边，所得的对应线段成比例．